Theorem reldm0 3388

Description: A relation is empty iff its domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Proof of Theorem reldm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 3329	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 3307	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel (/)) -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
3	1, 2	mpan2 708	. 2 |- (Rel A -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
4		eq0 2346	. . 3 |- (dom A = (/) <-> A.x -. x e. dom A)
5		visset 1860	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	eldm2 3365	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	notbii 194	. . . . 5 |- (-. x e. dom A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
8		alnex 1074	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
9		noel 2335	. . . . . . 7 |- -. <.x, y>. e. (/)
10	9	nbn 734	. . . . . 6 |- (-. <.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
11	10	albii 1040	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
12	7, 8, 11	3bitr2i 186	. . . 4 |- (-. x e. dom A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
13	12	albii 1040	. . 3 |- (A.x -. x e. dom A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
14	4, 13	bitr2i 181	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)) <-> dom A = (/))
15	3, 14	syl6bb 547	1 |- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  (/)c0 2331  <.cop 2463  dom cdm 3227  Rel wrel 3232

This theorem is referenced by:  relrn0 3413  fnresdisj 3654  mapdom2lem 4558  metne0 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242  df-dm 3245

Copyright terms: Public domain