Theorem reldm0 5220

Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 5127	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 5092	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel (/) ) -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 671	. 2 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
4		eq0 3800	. . 3 |- ( dom A = (/) <-> A. x -. x e. dom A )
5		alnex 1598	. . . . . 6 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. E. y <. x , y >. e. A )
6		vex 3116	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	6	eldm2 5201	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	5, 7	xchbinxr 311	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. x e. dom A )
9		noel 3789	. . . . . . 7 |- -. <. x , y >. e. (/)
10	9	nbn 347	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
11	10	albii 1620	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
12	8, 11	bitr3i 251	. . . 4 |- ( -. x e. dom A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
13	12	albii 1620	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
14	4, 13	bitr2i 250	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> dom A = (/) )
15	3, 14	syl6bb 261	1 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   (/)c0 3785   <.cop 4033   dom cdm 4999   Rel wrel 5004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-dm 5009

This theorem is referenced by:  relrn0  5260  coeq0  5516  fnresdisj  5691  fn0  5700  fresaunres2  5757  fsnunfv  6102  frxp  6894  domss2  7677  setsres  14521  pmtrsn  16359  gsumval3OLD  16723  gsumval3  16726  00lsp  17439  metn0  20690  wlkn0  24300  usgravd00  24692  eupath  24754  dfrdg2  29081  mbfresfi  29914  mapfzcons1  30480  diophrw  30523  eldioph2lem1  30524  eldioph2lem2  30525