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Theorem relcoi1 5519
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 5516 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2 resundi 5275 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) )
3 coeq2 5150 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) ) )
4 coundi 5491 . . . . . . 7  |-  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )
5 resco 5494 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )
6 coi1 5506 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  _I  )  =  R )
7 reseq1 5256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  |`  dom  R
) )
8 resdm 5303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
9 eqtr 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R )
10 eqtr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  =  R )
11 resco 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )
12 uneq1 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) ) )
13 reseq1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  |`  ran  R
) )
14 eqtr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  =  ( R  |`  ran  R ) )
1514uneq2d 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
16 eqtr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
17 resss 5285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
18 ssequn2 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
1917, 18mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R
206, 19syl6reqr 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  ( R  o.  _I  )
)
21 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) 
<->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2220, 21syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2423ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2524com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2726ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2827eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2928com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  |`  ran  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
316, 30mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3231com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3311, 12, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3410, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3534ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3635eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3736com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
389, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3938ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
4039com3l 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
418, 40mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
427, 41syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
436, 42mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
445, 43mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
454, 44syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
46 eqeq1 2458 . . . . . 6  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
4745, 46syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
482, 3, 47mp2b 10 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
49 reseq2 5257 . . . . . 6  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5049coeq2d 5154 . . . . 5  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
5150eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
5248, 51syl5ibr 221 . . 3  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
531, 52mpcom 36 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
5453, 6eqtrd 2495 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    u. cun 3459    C_ wss 3461   U.cuni 4235    _I cid 4779   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990    o. ccom 4992   Rel wrel 4993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000
This theorem is referenced by:  relexpsucl  12948  tsrdir  16067
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