Theorem relcmpcmet 22286

Description: If D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	|- J = ( MetOpen ` D )
relcmpcmet.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
relcmpcmet.3	|- ( ph -> R e. RR+ )
relcmpcmet.4	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
relcmpcmet	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, J   ph, x   x, R   x, X

Proof of Theorem relcmpcmet

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.2	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 21349	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4	3	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. (CauFil ` D ) )
6		relcmpcmet.3	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR+ )
7	6	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> R e. RR+ )
8		cfil3i 22239	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
10	3	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		relcmpcmet.1	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 21454	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cfilfil 22237	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
15	3, 14	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
16	15	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
17		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
18		topontop 19941	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. Top )
20		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> x e. X )
21	6	rpxrd 11342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. RR* )
22	21	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> R e. RR* )
23		blssm 21433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ R e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
24	10, 20, 22, 23	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
25		toponuni 19942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
26	13, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> X = U. J )
27	24, 26	sseqtrd 3468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J )
28		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
29	28	clsss3 20074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
30	19, 27, 29	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
31	30, 26	sseqtr4d 3469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X )
32	28	sscls 20071	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
33	19, 27, 32	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
34		filss 20868	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) R ) e. f /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
35	16, 17, 31, 33, 34	syl13anc 1270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
36		fclsrest 21039	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
37	13, 16, 35, 36	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
38		inss1 3652	. . . . . . 7 |- ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fClus f )
39		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- dom dom D = dom dom D
40	11, 39	cfilfcls 22244	. . . . . . . 8 |- ( f e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
41	40	ad2antlr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
42	38, 41	syl5sseq 3480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
43	37, 42	eqsstrd 3466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
44		relcmpcmet.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
45	44	ad2ant2r 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
46		filfbas 20863	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( Fil ` X ) -> f e. ( fBas ` X ) )
47	16, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( fBas ` X ) )
48		fbncp 20854	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( fBas ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
49	47, 35, 48	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
50		trfil3 20903	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
51	16, 31, 50	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
52	49, 51	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
53		resttopon 20177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
54	13, 31, 53	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
55		toponuni 19942	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
57	56	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
58	52, 57	eleqtrd 2531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
59		eqid 2451	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
60	59	fclscmpi 21044	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp /\ ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
61	45, 58, 60	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
62		ssn0 3767	. . . . 5 |- ( ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) /\ ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
63	43, 61, 62	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
64	9, 63	rexlimddv 2883	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
65	64	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) )
66	11	iscmet 22254	. 2 |- ( D e. ( CMet ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) ) )
67	1, 65, 66	sylanbrc 670	1 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RR*cxr 9674   RR+crp 11302   ↾_t crest 15319   *Metcxmt 18955   Metcme 18956   ballcbl 18957   fBascfbas 18958   MetOpencmopn 18960   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   clsccl 20033   Compccmp 20401   Filcfil 20860   fLim cflim 20949   fClus cfcls 20951  CauFilccfil 22222   CMetcms 22224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cmp 20402  df-fil 20861  df-flim 20954  df-fcls 20956  df-cfil 22225  df-cmet 22227

This theorem is referenced by:  cmpcmet  22287  cncmet  22290