Theorem relcmpcmet 20849

Description: If D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	|- J = ( MetOpen ` D )
relcmpcmet.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
relcmpcmet.3	|- ( ph -> R e. RR+ )
relcmpcmet.4	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
relcmpcmet	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, J   ph, x   x, R   x, X

Proof of Theorem relcmpcmet

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.2	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 19931	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. (CauFil ` D ) )
6		relcmpcmet.3	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR+ )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> R e. RR+ )
8		cfil3i 20802	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
10	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		relcmpcmet.1	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 20036	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	10, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cfilfil 20800	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
15	3, 14	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
17		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
18		topontop 18553	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
19	13, 18	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. Top )
20		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> x e. X )
21	6	rpxrd 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. RR* )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> R e. RR* )
23		blssm 20015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ R e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
24	10, 20, 22, 23	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
25		toponuni 18554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
26	13, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> X = U. J )
27	24, 26	sseqtrd 3413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J )
28		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
29	28	clsss3 18685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
30	19, 27, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
31	30, 26	sseqtr4d 3414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X )
32	28	sscls 18682	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
33	19, 27, 32	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
34		filss 19448	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) R ) e. f /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
35	16, 17, 31, 33, 34	syl13anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
36		fclsrest 19619	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
37	13, 16, 35, 36	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
38		inss1 3591	. . . . . . 7 |- ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fClus f )
39		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- dom dom D = dom dom D
40	11, 39	cfilfcls 20807	. . . . . . . 8 |- ( f e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
42	38, 41	syl5sseq 3425	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
43	37, 42	eqsstrd 3411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
44		relcmpcmet.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
45	44	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
46		filfbas 19443	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( Fil ` X ) -> f e. ( fBas ` X ) )
47	16, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( fBas ` X ) )
48		fbncp 19434	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( fBas ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
49	47, 35, 48	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
50		trfil3 19483	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
51	16, 31, 50	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
53		resttopon 18787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
54	13, 31, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
55		toponuni 18554	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
57	56	fveq2d 5716	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
58	52, 57	eleqtrd 2519	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
59		eqid 2443	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
60	59	fclscmpi 19624	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp /\ ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
61	45, 58, 60	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
62		ssn0 3691	. . . . 5 |- ( ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) /\ ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
63	43, 61, 62	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
64	9, 63	rexlimddv 2866	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
65	64	ralrimiva 2820	. 2 |- ( ph -> A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) )
66	11	iscmet 20817	. 2 |- ( D e. ( CMet ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) ) )
67	1, 65, 66	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   \ cdif 3346   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   U.cuni 4112   dom cdm 4861   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RR*cxr 9438   RR+crp 11012   ↾_t crest 14380   *Metcxmt 17823   Metcme 17824   ballcbl 17825   fBascfbas 17826   MetOpencmopn 17828   Topctop 18520  TopOnctopon 18521   clsccl 18644   Compccmp 19011   Filcfil 19440   fLim cflim 19529   fClus cfcls 19531  CauFilccfil 20785   CMetcms 20787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cmp 19012  df-fil 19441  df-flim 19534  df-fcls 19536  df-cfil 20788  df-cmet 20790

This theorem is referenced by:  cmpcmet  20850  cncmet  20855