Theorem relcmpcmet 21881

Description: If D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	|- J = ( MetOpen ` D )
relcmpcmet.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
relcmpcmet.3	|- ( ph -> R e. RR+ )
relcmpcmet.4	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
relcmpcmet	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, J   ph, x   x, R   x, X

Proof of Theorem relcmpcmet

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.2	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 20963	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. (CauFil ` D ) )
6		relcmpcmet.3	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR+ )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> R e. RR+ )
8		cfil3i 21834	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
10	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		relcmpcmet.1	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 21068	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	10, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cfilfil 21832	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
15	3, 14	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
17		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
18		topontop 19554	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
19	13, 18	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. Top )
20		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> x e. X )
21	6	rpxrd 11282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. RR* )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> R e. RR* )
23		blssm 21047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ R e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
24	10, 20, 22, 23	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
25		toponuni 19555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
26	13, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> X = U. J )
27	24, 26	sseqtrd 3535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J )
28		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
29	28	clsss3 19687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
30	19, 27, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
31	30, 26	sseqtr4d 3536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X )
32	28	sscls 19684	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
33	19, 27, 32	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
34		filss 20480	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) R ) e. f /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
35	16, 17, 31, 33, 34	syl13anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
36		fclsrest 20651	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
37	13, 16, 35, 36	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
38		inss1 3714	. . . . . . 7 |- ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fClus f )
39		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- dom dom D = dom dom D
40	11, 39	cfilfcls 21839	. . . . . . . 8 |- ( f e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
42	38, 41	syl5sseq 3547	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
43	37, 42	eqsstrd 3533	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
44		relcmpcmet.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
45	44	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
46		filfbas 20475	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( Fil ` X ) -> f e. ( fBas ` X ) )
47	16, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( fBas ` X ) )
48		fbncp 20466	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( fBas ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
49	47, 35, 48	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
50		trfil3 20515	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
51	16, 31, 50	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
53		resttopon 19789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
54	13, 31, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
55		toponuni 19555	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
57	56	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
58	52, 57	eleqtrd 2547	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
59		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
60	59	fclscmpi 20656	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp /\ ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
61	45, 58, 60	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
62		ssn0 3827	. . . . 5 |- ( ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) /\ ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
63	43, 61, 62	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
64	9, 63	rexlimddv 2953	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
65	64	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) )
66	11	iscmet 21849	. 2 |- ( D e. ( CMet ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) ) )
67	1, 65, 66	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RR*cxr 9644   RR+crp 11245   ↾_t crest 14838   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   fBascfbas 18533   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   Compccmp 20013   Filcfil 20472   fLim cflim 20561   fClus cfcls 20563  CauFilccfil 21817   CMetcms 21819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cmp 20014  df-fil 20473  df-flim 20566  df-fcls 20568  df-cfil 21820  df-cmet 21822

This theorem is referenced by:  cmpcmet  21882  cncmet  21887