Theorem relcmpcmet 21518

Description: If D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	|- J = ( MetOpen ` D )
relcmpcmet.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
relcmpcmet.3	|- ( ph -> R e. RR+ )
relcmpcmet.4	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
relcmpcmet	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, J   ph, x   x, R   x, X

Proof of Theorem relcmpcmet

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.2	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 20600	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. (CauFil ` D ) )
6		relcmpcmet.3	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR+ )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> R e. RR+ )
8		cfil3i 21471	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
10	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		relcmpcmet.1	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 20705	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13	10, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		cfilfil 21469	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
15	3, 14	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( Fil ` X ) )
17		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. f )
18		topontop 19222	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
19	13, 18	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> J e. Top )
20		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> x e. X )
21	6	rpxrd 11257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. RR* )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> R e. RR* )
23		blssm 20684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ R e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
24	10, 20, 22, 23	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
25		toponuni 19223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
26	13, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> X = U. J )
27	24, 26	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J )
28		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
29	28	clsss3 19354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
30	19, 27, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ U. J )
31	30, 26	sseqtr4d 3541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X )
32	28	sscls 19351	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ U. J ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
33	19, 27, 32	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
34		filss 20117	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) R ) e. f /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
35	16, 17, 31, 33, 34	syl13anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f )
36		fclsrest 20288	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
37	13, 16, 35, 36	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) = ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
38		inss1 3718	. . . . . . 7 |- ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fClus f )
39		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- dom dom D = dom dom D
40	11, 39	cfilfcls 21476	. . . . . . . 8 |- ( f e. (CauFil ` D ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fClus f ) = ( J fLim f ) )
42	38, 41	syl5sseq 3552	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J fClus f ) i^i ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
43	37, 42	eqsstrd 3538	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) )
44		relcmpcmet.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
45	44	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp )
46		filfbas 20112	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( Fil ` X ) -> f e. ( fBas ` X ) )
47	16, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> f e. ( fBas ` X ) )
48		fbncp 20103	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( fBas ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) e. f ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
49	47, 35, 48	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f )
50		trfil3 20152	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
51	16, 31, 50	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) <-> -. ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. f ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
53		resttopon 19456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
54	13, 31, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
55		toponuni 19223	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. (TopOn ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) )
57	56	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( Fil ` ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
58	52, 57	eleqtrd 2557	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) )
59		eqid 2467	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) = U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) )
60	59	fclscmpi 20293	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. Comp /\ ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) e. ( Fil ` U. ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
61	45, 58, 60	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) )
62		ssn0 3818	. . . . 5 |- ( ( ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) C_ ( J fLim f ) /\ ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) fClus ( f ↾t ( ( cls ` J ) ` ( x ( ball ` D ) R ) ) ) ) =/= (/) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
63	43, 61, 62	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) /\ ( x e. X /\ ( x ( ball ` D ) R ) e. f ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
64	9, 63	rexlimddv 2959	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim f ) =/= (/) )
65	64	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) )
66	11	iscmet 21486	. 2 |- ( D e. ( CMet ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. f e. (CauFil ` D ) ( J fLim f ) =/= (/) ) )
67	1, 65, 66	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627   RR+crp 11220   ↾_t crest 14676   *Metcxmt 18202   Metcme 18203   ballcbl 18204   fBascfbas 18205   MetOpencmopn 18207   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   clsccl 19313   Compccmp 19680   Filcfil 20109   fLim cflim 20198   fClus cfcls 20200  CauFilccfil 21454   CMetcms 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cmp 19681  df-fil 20110  df-flim 20203  df-fcls 20205  df-cfil 21457  df-cmet 21459

This theorem is referenced by:  cmpcmet  21519  cncmet  21524