MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reipcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reipcl 22253
Description: An inner product of an element with itself is real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reipcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
reipcl.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
reipcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  RR )

Proof of Theorem reipcl
StepHypRef Expression
1 reipcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 reipcl.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 eqid 2471 . . 3  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
41, 2, 3nmsq 22250 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .,  A
) )
5 cphngp 22229 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
61, 3nmcl 21707 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  A )  e.  RR )
75, 6sylan 479 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  A )  e.  RR )
87resqcld 12480 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
94, 8eqeltrrd 2550 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   2c2 10681   ^cexp 12310   Basecbs 15199   .icip 15273   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224
This theorem is referenced by:  pjthlem1  22469
  Copyright terms: Public domain W3C validator