MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0b Structured version   Unicode version

Theorem reim0b 13103
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 13102 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
2 replim 13100 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4 oveq2 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 it0e0 10804 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
76oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  +  0 ) )
8 recl 13094 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98recnd 9654 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
109addid1d 9816 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
117, 10sylan9eqr 2467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( Re
`  A ) )
123, 11eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( Re `  A ) )
138adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
1514ex 434 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
161, 15impbid2 206 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   _ici 9526    + caddc 9527    x. cmul 9529   Recre 13081   Imcim 13082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085
This theorem is referenced by:  cjreb  13107  reim0bi  13156  reim0bd  13184  cnpart  13224  rlimrecl  13554  absefib  14144  efieq1re  14145  cnsubrg  18800  recld2  21613  aaliou2b  23031  logcj  23287  argimgt0  23293  logcnlem2  23320  logcnlem3  23321  logf1o2  23327  dstregt0  36850
  Copyright terms: Public domain W3C validator