MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rei Structured version   Unicode version

Theorem rei 12969
Description: The real part of  _i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
rei  |-  ( Re
`  _i )  =  0

Proof of Theorem rei
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9563 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
2 ax-1cn 9562 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31, 2mulcli 9613 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  e.  CC
43addid2i 9779 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( _i  x.  1 )
54fveq2i 5875 . 2  |-  ( Re
`  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( Re `  (
_i  x.  1 ) )
6 0re 9608 . . 3  |-  0  e.  RR
7 1re 9607 . . 3  |-  1  e.  RR
8 crre 12927 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( Re `  (
0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  0 )
96, 7, 8mp2an 672 . 2  |-  ( Re
`  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  0
101mulid1i 9610 . . 3  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
1110fveq2i 5875 . 2  |-  ( Re
`  ( _i  x.  1 ) )  =  ( Re `  _i )
125, 9, 113eqtr3ri 2505 1  |-  ( Re
`  _i )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509   Recre 12910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-cj 12912  df-re 12913
This theorem is referenced by:  cji  12972  igz  14328  atancj  23107  atanlogsublem  23112
  Copyright terms: Public domain W3C validator