Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Unicode version

Theorem reheibor 31875
 Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2
reheibor.3
reheibor.4
Assertion
Ref Expression
reheibor

Proof of Theorem reheibor
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 7202 . . . 4
2 snfi 7657 . . . 4
31, 2eqeltri 2513 . . 3
4 imassrn 5199 . . . . 5
5 0ex 4557 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11
86, 7ismrer1 31874 . . . . . . . . . 10
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9
101fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10
1110oveq2i 6316 . . . . . . . . 9
129, 11eleqtrri 2516 . . . . . . . 8
136rexmet 21720 . . . . . . . . 9
14 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11
1514rrnmet 31865 . . . . . . . . . 10
16 metxmet 21280 . . . . . . . . . 10
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9
18 isismty 31837 . . . . . . . . 9
1913, 17, 18mp2an 676 . . . . . . . 8
2012, 19mpbi 211 . . . . . . 7
2120simpli 459 . . . . . 6
22 f1of 5831 . . . . . 6
23 frn 5752 . . . . . 6
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5
254, 24sstri 3479 . . . 4
2625a1i 11 . . 3
27 eqid 2429 . . . 4
28 eqid 2429 . . . 4
29 eqid 2429 . . . 4
3014, 27, 28, 29rrnheibor 31873 . . 3
313, 26, 30sylancr 667 . 2
32 reheibor.2 . . . . . . 7
33 cnxmet 21704 . . . . . . . 8
34 id 23 . . . . . . . . 9
35 ax-resscn 9595 . . . . . . . . 9
3634, 35syl6ss 3482 . . . . . . . 8
37 xmetres2 21307 . . . . . . . 8
3833, 36, 37sylancr 667 . . . . . . 7
3932, 38syl5eqel 2521 . . . . . 6
40 xmetres2 21307 . . . . . . 7
4117, 26, 40sylancr 667 . . . . . 6
42 reheibor.3 . . . . . . 7
4342, 28ismtyhmeo 31841 . . . . . 6
4439, 41, 43syl2anc 665 . . . . 5
4513a1i 11 . . . . . . 7
4617a1i 11 . . . . . . 7
4712a1i 11 . . . . . . 7
48 eqid 2429 . . . . . . . 8
49 eqid 2429 . . . . . . . 8
5048, 49, 27ismtyres 31844 . . . . . . 7
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 1265 . . . . . 6
52 xpss12 4960 . . . . . . . . . 10
5352anidms 649 . . . . . . . . 9
5453resabs1d 5154 . . . . . . . 8
5554, 32syl6eqr 2488 . . . . . . 7
5655oveq1d 6320 . . . . . 6
5751, 56eleqtrd 2519 . . . . 5
5844, 57sseldd 3471 . . . 4
59 hmphi 20723 . . . 4
6058, 59syl 17 . . 3
61 cmphmph 20734 . . . 4
62 hmphsym 20728 . . . . 5
63 cmphmph 20734 . . . . 5
6462, 63syl 17 . . . 4
6561, 64impbid 193 . . 3
6660, 65syl 17 . 2
67 reheibor.4 . . . . . . . 8
68 eqid 2429 . . . . . . . . 9
696, 68tgioo 21725 . . . . . . . 8
7067, 69eqtri 2458 . . . . . . 7
7170, 29ismtyhmeo 31841 . . . . . 6
7213, 17, 71mp2an 676 . . . . 5
7372, 12sselii 3467 . . . 4
74 retopon 21695 . . . . . . 7 TopOn
7567, 74eqeltri 2513 . . . . . 6 TopOn
7675toponunii 19878 . . . . 5
7776hmeocld 20713 . . . 4
7873, 34, 77sylancr 667 . . 3
79 ismtybnd 31843 . . . 4
8039, 41, 57, 79syl3anc 1264 . . 3
8178, 80anbi12d 715 . 2
8231, 66, 813bitr4d 288 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087   wss 3442  c0 3767  csn 4002   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cxp 4852   crn 4855   cres 4856  cima 4857   ccom 4858  wf 5597  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1o 7183   cmap 7480  cfn 7577  cc 9536  cr 9537   cmin 9859  cioo 11635  cabs 13276  ctg 15295  cxmt 18890  cme 18891  cmopn 18895  TopOnctopon 19849  ccld 19962  ccmp 20332  chmeo 20699   chmph 20700  cbnd 31803   cismty 31834  crrn 31861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-prds 15305  df-pws 15307  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-lm 20176  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-hmeo 20701  df-hmph 20702  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-totbnd 31804  df-bnd 31815  df-ismty 31835  df-rrn 31862 This theorem is referenced by:  icccmpALT  31877
 Copyright terms: Public domain W3C validator