Theorem rehalfcld 10867

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 10847	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1872  (class class class)co 6306   RRcr 9546   / cdiv 10277   2c2 10667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-2 10676

This theorem is referenced by:  flhalf  12069  facavg  12493  recl  13174  crre  13178  geomulcvg  13932  resin4p  14192  recos4p  14193  resinhcl  14210  cos01bnd  14240  rpnnen2lem11  14277  ruclem1  14283  ruclem2  14284  ruclem3  14285  bitsp1  14404  prmreclem5  14864  4sqlem5  14886  4sqlem6  14887  4sqlem10  14891  4sqlem15OLD  14903  4sqlem16OLD  14904  4sqlem15  14909  4sqlem16  14910  blhalf  21419  metustexhalf  21570  cfilucfil  21573  nlmvscnlem2  21687  ioo2bl  21810  ioo2blex  21811  reperflem  21835  metnrmlem3  21877  metnrmlem3OLD  21892  ipcnlem2  22214  iscau3  22247  minveclem4  22373  minveclem4OLD  22385  ovolunlem1a  22448  dvferm1lem  22935  dvferm2lem  22937  lhop1lem  22964  ulmdvlem1  23354  radcnvle  23374  psercnlem1  23379  pserdvlem1  23381  pilem3  23408  pilem3OLD  23409  coseq00topi  23456  cosordlem  23479  logtayl  23604  cxpcn3lem  23686  isosctrlem1  23746  chordthmlem4  23760  heron  23763  birthdaylem3  23878  cxp2limlem  23900  lgamgulmlem2  23954  lgamgulmlem3  23955  lgamucov  23962  ftalem2  23997  chtub  24139  bcmono  24204  lgsqrlem2  24269  lgsquadlem1  24281  lgsquadlem2  24282  2sqlem8  24299  chpo1ubb  24318  dchrisum0fno1  24348  logdivsum  24370  mulog2sumlem1  24371  mulog2sumlem2  24372  vmalogdivsum2  24375  vmalogdivsum  24376  2vmadivsumlem  24377  selberg4lem1  24397  selberg3r  24406  selberg4r  24407  selberg34r  24408  pntpbnd1a  24422  pntibndlem2  24428  pntibndlem3  24429  pntlemg  24435  pntlemh  24436  minvecolem4  26521  minvecolem4OLD  26531  nmcexi  27678  lt2addrd  28333  le2halvesd  28342  sqsscirc1  28723  tpr2rico  28727  iooelexlt  31730  sin2h  31900  cos2h  31901  tan2h  31902  mblfinlem4  31945  itg2addnclem  31958  ftc1anclem7  31988  ftc1anc  31990  oddfl  37442  dstregt0  37446  suplesup  37517  ioomidp  37565  lptre2pt  37661  0ellimcdiv  37671  dvbdfbdioolem2  37742  dvbdfbdioo  37743  ioodvbdlimc1lem2  37745  ioodvbdlimc1lem2OLD  37747  ioodvbdlimc2lem  37749  ioodvbdlimc2lemOLD  37750  stoweidlem14  37815  stoweidlem24  37825  stoweidlem49  37851  stoweidlem52  37854  stoweidlem62  37864  stoweidlem62OLD  37865  dirker2re  37895  dirkertrigeqlem3  37903  dirkertrigeq  37904  dirkercncflem1  37906  dirkercncflem2  37907  dirkercncflem4  37909  fourierdlem5  37915  fourierdlem10  37920  fourierdlem43  37955  fourierdlem56  37967  fourierdlem58  37969  fourierdlem62  37973  fourierdlem66  37977  fourierdlem68  37979  fourierdlem72  37983  fourierdlem76  37987  fourierdlem78  37989  fourierdlem79  37990  fourierdlem83  37994  fourierdlem87  37998  fourierdlem103  38014  fourierdlem104  38015  fourierdlem112  38023  sge0xaddlem1  38184  nno  39979  flnn0div2ge  39991  dignn0flhalflem2  40078  dignn0flhalf  40080