Theorem rehalfcld 10558

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 10538	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268   / cdiv 9980   2c2 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-2 10367

This theorem is referenced by:  flhalf  11657  facavg  12060  recl  12582  crre  12586  geomulcvg  13318  resin4p  13404  recos4p  13405  resinhcl  13422  cos01bnd  13452  rpnnen2lem11  13489  ruclem1  13495  ruclem2  13496  ruclem3  13497  bitsp1  13609  prmreclem5  13963  4sqlem5  13985  4sqlem6  13986  4sqlem10  13990  4sqlem15  14002  4sqlem16  14003  blhalf  19821  metustexhalfOLD  19979  metustexhalf  19980  cfilucfilOLD  19985  cfilucfil  19986  nlmvscnlem2  20107  ioo2bl  20211  ioo2blex  20212  reperflem  20236  metnrmlem3  20278  ipcnlem2  20597  iscau3  20630  minveclem4  20760  ovolunlem1a  20820  dvferm1lem  21297  dvferm2lem  21299  lhop1lem  21326  ulmdvlem1  21749  radcnvle  21769  psercnlem1  21774  pserdvlem1  21776  pilem3  21802  coseq00topi  21848  cosordlem  21871  logtayl  21989  cxpcn3lem  22069  isosctrlem1  22100  chordthmlem4  22114  heron  22117  birthdaylem3  22231  cxp2limlem  22253  ftalem2  22295  chtub  22435  bcmono  22500  lgsqrlem2  22565  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  2sqlem8  22595  chpo1ubb  22614  dchrisum0fno1  22644  logdivsum  22666  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  selberg4lem1  22693  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntpbnd1a  22718  pntibndlem2  22724  pntibndlem3  22725  pntlemg  22731  pntlemh  22732  minvecolem4  24103  nmcexi  25252  lt2addrd  25860  le2halvesd  25873  sqsscirc1  26191  tpr2rico  26195  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamucov  26871  sin2h  28263  cos2h  28264  tan2h  28265  mblfinlem4  28272  itg2addnclem  28284  ftc1anclem7  28314  ftc1anc  28316  stoweidlem14  29652  stoweidlem24  29662  stoweidlem49  29687  stoweidlem52  29690  stoweidlem62  29700