Theorem rehalfcld 10170

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 10150	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945   / cdiv 9633   2c2 10005

This theorem is referenced by:  flhalf  11186  facavg  11547  recl  11870  crre  11874  geomulcvg  12608  resin4p  12694  recos4p  12695  resinhcl  12712  cos01bnd  12742  rpnnen2lem11  12779  ruclem1  12785  ruclem2  12786  ruclem3  12787  bitsp1  12898  prmreclem5  13243  4sqlem5  13265  4sqlem6  13266  4sqlem10  13270  4sqlem15  13282  4sqlem16  13283  blhalf  18388  metustexhalfOLD  18546  metustexhalf  18547  cfilucfilOLD  18552  cfilucfil  18553  nlmvscnlem2  18674  ioo2bl  18777  ioo2blex  18778  reperflem  18802  metnrmlem3  18844  ipcnlem2  19151  iscau3  19184  minveclem4  19286  ovolunlem1a  19345  dvferm1lem  19821  dvferm2lem  19823  lhop1lem  19850  ulmdvlem1  20269  radcnvle  20289  psercnlem1  20294  pserdvlem1  20296  pilem3  20322  coseq00topi  20363  cosordlem  20386  logtayl  20504  cxpcn3lem  20584  isosctrlem1  20615  chordthmlem4  20629  birthdaylem3  20745  cxp2limlem  20767  ftalem2  20809  chtub  20949  bcmono  21014  lgsqrlem2  21079  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  2sqlem8  21109  chpo1ubb  21128  dchrisum0fno1  21158  logdivsum  21180  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  selberg4lem1  21207  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntpbnd1a  21232  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemg  21245  pntlemh  21246  minvecolem4  22335  nmcexi  23482  lt2addrd  24068  le2halvesd  24075  sqsscirc1  24259  tpr2rico  24263  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamucov  24775  mblfinlem3  26145  itg2addnclem  26155  stoweidlem14  27630  stoweidlem24  27640  stoweidlem49  27665  stoweidlem52  27668  stoweidlem62  27678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014