Theorem rehalfcld 10785

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 10765	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767  (class class class)co 6284   RRcr 9491   / cdiv 10206   2c2 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594

This theorem is referenced by:  flhalf  11930  facavg  12347  recl  12906  crre  12910  geomulcvg  13648  resin4p  13734  recos4p  13735  resinhcl  13752  cos01bnd  13782  rpnnen2lem11  13819  ruclem1  13825  ruclem2  13826  ruclem3  13827  bitsp1  13940  prmreclem5  14297  4sqlem5  14319  4sqlem6  14320  4sqlem10  14324  4sqlem15  14336  4sqlem16  14337  blhalf  20671  metustexhalfOLD  20829  metustexhalf  20830  cfilucfilOLD  20835  cfilucfil  20836  nlmvscnlem2  20957  ioo2bl  21061  ioo2blex  21062  reperflem  21086  metnrmlem3  21128  ipcnlem2  21447  iscau3  21480  minveclem4  21610  ovolunlem1a  21670  dvferm1lem  22148  dvferm2lem  22150  lhop1lem  22177  ulmdvlem1  22557  radcnvle  22577  psercnlem1  22582  pserdvlem1  22584  pilem3  22610  coseq00topi  22656  cosordlem  22679  logtayl  22797  cxpcn3lem  22877  isosctrlem1  22908  chordthmlem4  22922  heron  22925  birthdaylem3  23039  cxp2limlem  23061  ftalem2  23103  chtub  23243  bcmono  23308  lgsqrlem2  23373  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  2sqlem8  23403  chpo1ubb  23422  dchrisum0fno1  23452  logdivsum  23474  mulog2sumlem1  23475  mulog2sumlem2  23476  vmalogdivsum2  23479  vmalogdivsum  23480  2vmadivsumlem  23481  selberg4lem1  23501  selberg3r  23510  selberg4r  23511  selberg34r  23512  pntpbnd1a  23526  pntibndlem2  23532  pntibndlem3  23533  pntlemg  23539  pntlemh  23540  minvecolem4  25500  nmcexi  26649  lt2addrd  27259  le2halvesd  27272  sqsscirc1  27554  tpr2rico  27558  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  lgamucov  28248  sin2h  29650  cos2h  29651  tan2h  29652  mblfinlem4  29659  itg2addnclem  29671  ftc1anclem7  29701  ftc1anc  29703  oddfl  31064  dstregt0  31068  lptre2pt  31210  addlimc  31218  0ellimcdiv  31219  dvbdfbdioo  31288  ioodvbdlimc1lem2  31290  ioodvbdlimc2lem  31292  stoweidlem14  31342  stoweidlem24  31352  stoweidlem49  31377  stoweidlem52  31380  stoweidlem62  31390  dirker2re  31420  dirkerval2  31422  dirkertrigeqlem3  31428  dirkertrigeq  31429  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem4  31434  fourierdlem5  31440  fourierdlem56  31491  fourierdlem58  31493  fourierdlem62  31497  fourierdlem66  31501  fourierdlem72  31507  fourierdlem76  31511  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539