Theorem rehalfcld 10859

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 10839	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1870  (class class class)co 6305   RRcr 9537   / cdiv 10268   2c2 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668

This theorem is referenced by:  flhalf  12059  facavg  12483  recl  13152  crre  13156  geomulcvg  13910  resin4p  14170  recos4p  14171  resinhcl  14188  cos01bnd  14218  rpnnen2lem11  14255  ruclem1  14261  ruclem2  14262  ruclem3  14263  bitsp1  14379  prmreclem5  14827  4sqlem5  14849  4sqlem6  14850  4sqlem10  14854  4sqlem15OLD  14866  4sqlem16OLD  14867  4sqlem15  14872  4sqlem16  14873  blhalf  21351  metustexhalf  21502  cfilucfil  21505  nlmvscnlem2  21619  ioo2bl  21722  ioo2blex  21723  reperflem  21747  metnrmlem3  21789  ipcnlem2  22108  iscau3  22141  minveclem4  22267  ovolunlem1a  22327  dvferm1lem  22813  dvferm2lem  22815  lhop1lem  22842  ulmdvlem1  23220  radcnvle  23240  psercnlem1  23245  pserdvlem1  23247  pilem3  23274  pilem3OLD  23275  coseq00topi  23322  cosordlem  23345  logtayl  23470  cxpcn3lem  23552  isosctrlem1  23612  chordthmlem4  23626  heron  23629  birthdaylem3  23744  cxp2limlem  23766  lgamgulmlem2  23820  lgamgulmlem3  23821  lgamucov  23828  ftalem2  23863  chtub  24003  bcmono  24068  lgsqrlem2  24133  lgsquadlem1  24145  lgsquadlem2  24146  2sqlem8  24163  chpo1ubb  24182  dchrisum0fno1  24212  logdivsum  24234  mulog2sumlem1  24235  mulog2sumlem2  24236  vmalogdivsum2  24239  vmalogdivsum  24240  2vmadivsumlem  24241  selberg4lem1  24261  selberg3r  24270  selberg4r  24271  selberg34r  24272  pntpbnd1a  24286  pntibndlem2  24292  pntibndlem3  24293  pntlemg  24299  pntlemh  24300  minvecolem4  26367  nmcexi  27514  lt2addrd  28169  le2halvesd  28176  sqsscirc1  28553  tpr2rico  28557  iooelexlt  31499  sin2h  31639  cos2h  31640  tan2h  31641  mblfinlem4  31684  itg2addnclem  31697  ftc1anclem7  31727  ftc1anc  31729  oddfl  37096  dstregt0  37100  suplesup  37171  ioomidp  37200  lptre2pt  37292  0ellimcdiv  37302  dvbdfbdioolem2  37373  dvbdfbdioo  37374  ioodvbdlimc1lem2  37376  ioodvbdlimc2lem  37378  stoweidlem14  37443  stoweidlem24  37453  stoweidlem49  37479  stoweidlem52  37482  stoweidlem62  37492  stoweidlem62OLD  37493  dirker2re  37523  dirkertrigeqlem3  37531  dirkertrigeq  37532  dirkercncflem1  37534  dirkercncflem2  37535  dirkercncflem4  37537  fourierdlem5  37543  fourierdlem10  37548  fourierdlem43  37581  fourierdlem56  37594  fourierdlem58  37596  fourierdlem62  37600  fourierdlem66  37604  fourierdlem68  37606  fourierdlem72  37610  fourierdlem76  37614  fourierdlem78  37616  fourierdlem79  37617  fourierdlem83  37621  fourierdlem87  37625  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fourierdlem112  37650  nno  39089  flnn0div2ge  39101  dignn0flhalflem2  39188  dignn0flhalf  39190