MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Unicode version

Theorem regsumsupp 18846
Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, V

Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18634 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 18652 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnring 18650 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 ringcmn 17439 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e. CMnd )
6 simp3 997 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 simp1 995 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> RR )
8 ax-resscn 9497 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
9 fss 5676 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : I --> CC )
107, 8, 9sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> CC )
11 ssid 3458 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 ) )
13 simp2 996 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F finSupp  0 )
141, 2, 5, 6, 10, 12, 13gsumres 17135 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  F ) )
15 cnfldadd 18635 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
16 df-refld 18829 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
17 cnfldex 18633 . . . . 5  |-fld  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e.  _V )
198a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  RR  C_  CC )
20 0red 9545 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  0  e.  RR )
21 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
2221addid2d 9733 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
2321addid1d 9732 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
2422, 23jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  x )  =  x  /\  (
x  +  0 )  =  x ) )
251, 15, 16, 18, 6, 19, 7, 20, 24gsumress 16117 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  F )  =  (RRfld  gsumg  F ) )
2614, 25eqtr2d 2442 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) ) )
27 suppssdm 6867 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  dom  F
28 fdm 5672 . . . . . 6  |-  ( F : I --> RR  ->  dom 
F  =  I )
297, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  dom  F  =  I )
3027, 29syl5sseq 3487 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
317, 30feqresmpt 5857 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F  |`  ( F supp  0
) )  =  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) )
3231oveq2d 6248 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) ) )
33 id 22 . . . . 5  |-  ( F finSupp 
0  ->  F finSupp  0 )
3433fsuppimpd 7788 . . . 4  |-  ( F finSupp 
0  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
35343ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
36 simpl1 998 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  F :
I --> RR )
3730sselda 3439 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  x  e.  I )
3836, 37ffvelrnd 5964 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
3938recnd 9570 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4035, 39gsumfsum 18694 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `  x ) ) )  =  sum_ x  e.  ( F supp  0
) ( F `  x ) )
4126, 32, 403eqtrd 2445 1  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940    |` cres 4942   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   supp csupp 6854   Fincfn 7472   finSupp cfsupp 7781   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440    + caddc 9443   sum_csu 13562    gsumg cgsu 14945  CMndccmn 17012   Ringcrg 17408  ℂfldccnfld 18630  RRfldcrefld 18828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-cnfld 18631  df-refld 18829
This theorem is referenced by:  rrxcph  22006  rrxmval  22014
  Copyright terms: Public domain W3C validator