MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Unicode version

Theorem regsumsupp 19188
Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, V

Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18973 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 18991 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnring 18989 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 ringcmn 17810 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e. CMnd )
6 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> RR )
8 ax-resscn 9603 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
9 fss 5754 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : I --> CC )
107, 8, 9sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> CC )
11 ssid 3483 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 ) )
13 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F finSupp  0 )
141, 2, 5, 6, 10, 12, 13gsumres 17546 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  F ) )
15 cnfldadd 18974 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
16 df-refld 19171 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
17 cnfldex 18972 . . . . 5  |-fld  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e.  _V )
198a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  RR  C_  CC )
20 0red 9651 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  0  e.  RR )
21 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
2221addid2d 9841 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
2321addid1d 9840 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
2422, 23jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  x )  =  x  /\  (
x  +  0 )  =  x ) )
251, 15, 16, 18, 6, 19, 7, 20, 24gsumress 16518 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  F )  =  (RRfld  gsumg  F ) )
2614, 25eqtr2d 2464 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) ) )
27 suppssdm 6938 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  dom  F
28 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( F : I --> RR  ->  dom 
F  =  I )
297, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  dom  F  =  I )
3027, 29syl5sseq 3512 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
317, 30feqresmpt 5935 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F  |`  ( F supp  0
) )  =  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) )
3231oveq2d 6321 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) ) )
33 id 22 . . . . 5  |-  ( F finSupp 
0  ->  F finSupp  0 )
3433fsuppimpd 7899 . . . 4  |-  ( F finSupp 
0  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
35343ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
36 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  F :
I --> RR )
3730sselda 3464 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  x  e.  I )
3836, 37ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
3938recnd 9676 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4035, 39gsumfsum 19033 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `  x ) ) )  =  sum_ x  e.  ( F supp  0
) ( F `  x ) )
4126, 32, 403eqtrd 2467 1  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7580   finSupp cfsupp 7892   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546    + caddc 9549   sum_csu 13751    gsumg cgsu 15338  CMndccmn 17429   Ringcrg 17779  ℂfldccnfld 18969  RRfldcrefld 19170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-cnfld 18970  df-refld 19171
This theorem is referenced by:  rrxcph  22349  rrxmval  22357
  Copyright terms: Public domain W3C validator