MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Unicode version

Theorem regsumsupp 18635
Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, V

Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18402 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 18420 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnring 18418 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 ringcmn 17207 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e. CMnd )
6 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> RR )
8 ax-resscn 9552 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
9 fss 5729 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : I --> CC )
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F : I --> CC )
11 ssid 3508 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  ( F supp  0 ) )
13 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  F finSupp  0 )
141, 2, 5, 6, 10, 12, 13gsumres 16899 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  F ) )
15 cnfldadd 18403 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
16 df-refld 18618 . . . 4  |- RRfld  =  (flds  RR )
17 cnfldex 18401 . . . . 5  |-fld  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->fld  e.  _V )
198a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  RR  C_  CC )
20 0red 9600 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  0  e.  RR )
21 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
2221addid2d 9784 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
2321addid1d 9783 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
2422, 23jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  x )  =  x  /\  (
x  +  0 )  =  x ) )
251, 15, 16, 18, 6, 19, 7, 20, 24gsumress 15881 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  F )  =  (RRfld  gsumg  F ) )
2614, 25eqtr2d 2485 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) ) )
27 suppssdm 6916 . . . . 5  |-  ( F supp  0 )  C_  dom  F
28 fdm 5725 . . . . . 6  |-  ( F : I --> RR  ->  dom 
F  =  I )
297, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  dom  F  =  I )
3027, 29syl5sseq 3537 . . . 4  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  C_  I
)
317, 30feqresmpt 5912 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F  |`  ( F supp  0
) )  =  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) )
3231oveq2d 6297 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( F  |`  ( F supp  0 ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `
 x ) ) ) )
33 id 22 . . . . 5  |-  ( F finSupp 
0  ->  F finSupp  0 )
3433fsuppimpd 7838 . . . 4  |-  ( F finSupp 
0  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
35343ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  ( F supp  0 )  e.  Fin )
36 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  F :
I --> RR )
3730sselda 3489 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  x  e.  I )
3836, 37ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
3938recnd 9625 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V
)  /\  x  e.  ( F supp  0 )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4035, 39gsumfsum 18462 . 2  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (fld  gsumg  ( x  e.  ( F supp  0 )  |->  ( F `  x ) ) )  =  sum_ x  e.  ( F supp  0
) ( F `  x ) )
4126, 32, 403eqtrd 2488 1  |-  ( ( F : I --> RR  /\  F finSupp  0  /\  I  e.  V )  ->  (RRfld  gsumg  F
)  =  sum_ x  e.  ( F supp  0 ) ( F `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498   sum_csu 13489    gsumg cgsu 14819  CMndccmn 16776   Ringcrg 17176  ℂfldccnfld 18398  RRfldcrefld 18617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-cring 17179  df-cnfld 18399  df-refld 18618
This theorem is referenced by:  rrxcph  21801  rrxmval  21809
  Copyright terms: Public domain W3C validator