Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Unicode version

Theorem regsumsupp 19188
 Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp finSupp RRfld g supp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18973 . . . 4 fld
2 cnfld0 18991 . . . 4 fld
3 cnring 18989 . . . . 5 fld
4 ringcmn 17810 . . . . 5 fld fld CMnd
53, 4mp1i 13 . . . 4 finSupp fld CMnd
6 simp3 1007 . . . 4 finSupp
7 simp1 1005 . . . . 5 finSupp
8 ax-resscn 9603 . . . . 5
9 fss 5754 . . . . 5
107, 8, 9sylancl 666 . . . 4 finSupp
11 ssid 3483 . . . . 5 supp supp
1211a1i 11 . . . 4 finSupp supp supp
13 simp2 1006 . . . 4 finSupp finSupp
141, 2, 5, 6, 10, 12, 13gsumres 17546 . . 3 finSupp fld g supp fld g
15 cnfldadd 18974 . . . 4 fld
16 df-refld 19171 . . . 4 RRfld flds
17 cnfldex 18972 . . . . 5 fld
1817a1i 11 . . . 4 finSupp fld
198a1i 11 . . . 4 finSupp
20 0red 9651 . . . 4 finSupp
21 simpr 462 . . . . . 6 finSupp
2221addid2d 9841 . . . . 5 finSupp
2321addid1d 9840 . . . . 5 finSupp
2422, 23jca 534 . . . 4 finSupp
251, 15, 16, 18, 6, 19, 7, 20, 24gsumress 16518 . . 3 finSupp fld g RRfld g
2614, 25eqtr2d 2464 . 2 finSupp RRfld g fld g supp
27 suppssdm 6938 . . . . 5 supp
28 fdm 5750 . . . . . 6
297, 28syl 17 . . . . 5 finSupp
3027, 29syl5sseq 3512 . . . 4 finSupp supp
317, 30feqresmpt 5935 . . 3 finSupp supp supp
3231oveq2d 6321 . 2 finSupp fld g supp fld g supp
33 id 22 . . . . 5 finSupp finSupp
3433fsuppimpd 7899 . . . 4 finSupp supp
35343ad2ant2 1027 . . 3 finSupp supp
36 simpl1 1008 . . . . 5 finSupp supp
3730sselda 3464 . . . . 5 finSupp supp
3836, 37ffvelrnd 6038 . . . 4 finSupp supp
3938recnd 9676 . . 3 finSupp supp
4035, 39gsumfsum 19033 . 2 finSupp fld g supp supp
4126, 32, 403eqtrd 2467 1 finSupp RRfld g supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080   wss 3436   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cdm 4853   cres 4855  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925  cfn 7580   finSupp cfsupp 7892  cc 9544  cr 9545  cc0 9546   caddc 9549  csu 13751   g cgsu 15338  CMndccmn 17429  crg 17779  ℂfldccnfld 18969  RRfldcrefld 19170 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-cnfld 18970  df-refld 19171 This theorem is referenced by:  rrxcph  22349  rrxmval  22357
 Copyright terms: Public domain W3C validator