Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  regsumfsum Structured version   Unicode version

Theorem regsumfsum 27421
Description: Relate a group sum on  (flds  RR ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 18245 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
regsumfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
regsumfsum.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
regsumfsum  |-  ( ph  ->  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem regsumfsum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18188 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 18189 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2460 . . 3  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
4 cnfldex 18187 . . . 4  |-fld  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->fld  e. 
_V )
6 regsumfsum.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 ax-resscn 9538 . . . 4  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
9 regsumfsum.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
10 eqid 2460 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
119, 10fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
12 0re 9585 . . . 4  |-  0  e.  RR
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
1514addid2d 9769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
1614addid1d 9768 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
1715, 16jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  x )  =  x  /\  (
x  +  0 )  =  x ) )
181, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 17gsumress 15813 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
197, 9sseldi 3495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
206, 19gsumfsum 18245 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
2118, 20eqtr3d 2503 1  |-  ( ph  ->  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469    |-> cmpt 4498  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484   sum_csu 13457   ↾s cress 14480    gsumg cgsu 14685  ℂfldccnfld 18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-cnfld 18185
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator