Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  regsumfsum Structured version   Unicode version

Theorem regsumfsum 28224
Description: Relate a group sum on  (flds  RR ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 18804 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
regsumfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
regsumfsum.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
regsumfsum  |-  ( ph  ->  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem regsumfsum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18744 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 18745 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2402 . . 3  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
4 cnfldex 18743 . . . 4  |-fld  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->fld  e. 
_V )
6 regsumfsum.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 ax-resscn 9579 . . . 4  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
9 regsumfsum.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
119, 10fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
12 0red 9627 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
1413addid2d 9815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
1513addid1d 9814 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
1614, 15jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  x )  =  x  /\  (
x  +  0 )  =  x ) )
171, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 16gsumress 16227 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
189recnd 9652 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
196, 18gsumfsum 18804 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
2017, 19eqtr3d 2445 1  |-  ( ph  ->  ( (flds  RR )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    C_ wss 3414    |-> cmpt 4453  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525   sum_csu 13657   ↾s cress 14842    gsumg cgsu 15055  ℂfldccnfld 18740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-cnfld 18741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator