Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsep2 Structured version   Unicode version

Theorem regsep2 19096
 Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1
Assertion
Ref Expression
regsep2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4
2 simpr1 994 . . . . 5
3 t1sep.1 . . . . . 6
43cldopn 18751 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
6 simpr2 995 . . . . 5
7 simpr3 996 . . . . 5
86, 7eldifd 3437 . . . 4
9 regsep 19054 . . . 4
101, 5, 8, 9syl3anc 1219 . . 3
11 regtop 19053 . . . . . . . . 9
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8
13 elssuni 4219 . . . . . . . . . 10
1413, 3syl6sseqr 3501 . . . . . . . . 9
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8
163clscld 18767 . . . . . . . 8
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7
183cldopn 18751 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 simprrr 764 . . . . . . 7
213clsss3 18779 . . . . . . . . 9
2212, 15, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8
23 simplr1 1030 . . . . . . . . 9
243cldss 18749 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 ssconb 3587 . . . . . . . 8
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7
2820, 27mpbid 210 . . . . . 6
29 simprrl 763 . . . . . 6
303sscls 18776 . . . . . . . . 9
3112, 15, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8
32 sslin 3674 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
34 incom 3641 . . . . . . . 8
35 disjdif 3849 . . . . . . . 8
3634, 35eqtri 2480 . . . . . . 7
37 sseq0 3767 . . . . . . 7
3833, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6
39 sseq2 3476 . . . . . . . 8
40 ineq1 3643 . . . . . . . . 9
4140eqeq1d 2453 . . . . . . . 8
4239, 413anbi13d 1292 . . . . . . 7
4342rspcev 3169 . . . . . 6
4419, 28, 29, 38, 43syl13anc 1221 . . . . 5
4544expr 615 . . . 4
4645reximdva 2924 . . 3
4710, 46mpd 15 . 2
48 rexcom 2978 . 2
4947, 48sylib 196 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wrex 2796   cdif 3423   cin 3425   wss 3426  c0 3735  cuni 4189  cfv 5516  ctop 18614  ccld 18736  ccl 18738  creg 19029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-top 18619  df-cld 18739  df-cls 18741  df-reg 19036 This theorem is referenced by:  isreg2  19097
 Copyright terms: Public domain W3C validator