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Theorem regsep2 19096
Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
regsep2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, J, y    x, X, y

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  J  e.  Reg )
2 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  C  e.  ( Clsd `  J
) )
3 t1sep.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
43cldopn 18751 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  C )  e.  J
)
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( X  \  C )  e.  J )
6 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  -.  A  e.  C )
86, 7eldifd 3437 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  ( X  \  C
) )
9 regsep 19054 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( X  \  C )  e.  J  /\  A  e.  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
101, 5, 8, 9syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
11 regtop 19053 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
13 elssuni 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
1413, 3syl6sseqr 3501 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_  X )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  X
)
163clscld 18767 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
183cldopn 18751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
20 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )
213clsss3 18779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  C_  X )
2212, 15, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  X )
23 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  e.  (
Clsd `  J )
)
243cldss 18749 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  X
)
26 ssconb 3587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  y )  C_  X  /\  C  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
)  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 y )  C_  ( X  \  C )  <-> 
C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
) ) )
2820, 27mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) ) )
29 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  A  e.  y )
303sscls 18776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
y  C_  ( ( cls `  J ) `  y ) )
3112, 15, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  (
( cls `  J
) `  y )
)
32 sslin 3674 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ( ( cls `  J ) `  y
)  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
34 incom 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )
35 disjdif 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )  =  (/)
3634, 35eqtri 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  (/)
37 sseq0 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  C_  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  /\  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  =  (/) )  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  y )  =  (/) )
3833, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) )
39 sseq2 3476 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( C  C_  x  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
40 ineq1 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )
)
4140eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) )
4239, 413anbi13d 1292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  /\  A  e.  y  /\  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4342rspcev 3169 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  e.  J  /\  ( C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  /\  A  e.  y  /\  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4419, 28, 29, 38, 43syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4544expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  y  e.  J )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4645reximdva 2924 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
4710, 46mpd 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
48 rexcom 2978 . 2  |-  ( E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
4947, 48sylib 196 1  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796    \ cdif 3423    i^i cin 3425    C_ wss 3426   (/)c0 3735   U.cuni 4189   ` cfv 5516   Topctop 18614   Clsdccld 18736   clsccl 18738   Regcreg 19029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-top 18619  df-cld 18739  df-cls 18741  df-reg 19036
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