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Theorem regsep2 18949
Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
regsep2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, J, y    x, X, y

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  J  e.  Reg )
2 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  C  e.  ( Clsd `  J
) )
3 t1sep.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
43cldopn 18604 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  C )  e.  J
)
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( X  \  C )  e.  J )
6 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  -.  A  e.  C )
86, 7eldifd 3332 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  ( X  \  C
) )
9 regsep 18907 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( X  \  C )  e.  J  /\  A  e.  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
101, 5, 8, 9syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
11 regtop 18906 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
13 elssuni 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
1413, 3syl6sseqr 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_  X )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  X
)
163clscld 18620 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
183cldopn 18604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
20 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )
213clsss3 18632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  C_  X )
2212, 15, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  X )
23 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  e.  (
Clsd `  J )
)
243cldss 18602 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  X
)
26 ssconb 3482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  y )  C_  X  /\  C  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
)  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 y )  C_  ( X  \  C )  <-> 
C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
) ) )
2820, 27mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) ) )
29 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  A  e.  y )
303sscls 18629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
y  C_  ( ( cls `  J ) `  y ) )
3112, 15, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  (
( cls `  J
) `  y )
)
32 sslin 3569 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ( ( cls `  J ) `  y
)  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
34 incom 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )
35 disjdif 3744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )  =  (/)
3634, 35eqtri 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  (/)
37 sseq0 3662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  C_  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  /\  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  =  (/) )  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  y )  =  (/) )
3833, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) )
39 sseq2 3371 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( C  C_  x  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
40 ineq1 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )
)
4140eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) )
4239, 413anbi13d 1291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  /\  A  e.  y  /\  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4342rspcev 3066 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  e.  J  /\  ( C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  /\  A  e.  y  /\  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4419, 28, 29, 38, 43syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4544expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  y  e.  J )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4645reximdva 2822 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
4710, 46mpd 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
48 rexcom 2876 . 2  |-  ( E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
4947, 48sylib 196 1  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2710    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   U.cuni 4084   ` cfv 5411   Topctop 18467   Clsdccld 18589   clsccl 18591   Regcreg 18882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-top 18472  df-cld 18592  df-cls 18594  df-reg 18889
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