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Theorem regr1lem2 19313
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
regr1lem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables  m  n  w  z  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
2 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
4 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  z  e.  X
)
5 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  w  e.  X
)
6 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  J
)
7 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 19312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  ->  w  e.  a ) )
9 3ancoma 972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 incom 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  i^i  n )  =  ( n  i^i  m
)
1110eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  <->  ( n  i^i  m )  =  (/) )
12113anbi3i 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
139, 12bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
14132rexbii 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
15 rexcom 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z
)  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
177, 16sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 19312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  a  ->  z  e.  a ) )
198, 18impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2019expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  a  e.  J )  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  ->  (
z  e.  a  <->  w  e.  a ) ) )
2120ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
221kqfeq 19297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
23 elequ2 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  a ) )
24 elequ2 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  a ) )
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y )  <-> 
( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
2625cbvralv 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2722, 26syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
28273expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
2928adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
3021, 29sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) ) )
3130necon1ad 2678 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
3231ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
331kqffn 19298 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
3433adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
35 neeq1 2616 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  b
) )
36 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  m
) )
37363anbi1d 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
38372rexbidv 2758 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4039ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4140ralrn 5846 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
42 neeq2 2617 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  ( F `  w )
) )
43 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  n  <->  ( F `  w )  e.  n
) )
44433anbi2d 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
45442rexbidv 2758 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
4642, 45imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4746ralrn 5846 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4847ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4941, 48bitrd 253 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5034, 49syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5132, 50mpbird 232 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
521kqtopon 19300 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
5352adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
54 ishaus2 18955 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
5553, 54syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (
(KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5651, 55mpbird 232 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    i^i cin 3327   (/)c0 3637    e. cmpt 4350   ran crn 4841    Fn wfn 5413   ` cfv 5418  TopOnctopon 18499   Hauscha 18912   Regcreg 18913  KQckq 19266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-qtop 14445  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-cls 18625  df-haus 18919  df-reg 18920  df-kq 19267
This theorem is referenced by:  regr1  19323
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