Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regr1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem regr1lem2 19992
 Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
regr1lem2 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10
2 simplll 757 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ TopOn
3 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
4 simplrl 759 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
5 simplrr 760 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
6 simprl 755 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
7 simprr 756 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 19991 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
9 3ancoma 980 . . . . . . . . . . . . . 14
10 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15
12113anbi3i 1189 . . . . . . . . . . . . . 14
139, 12bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
14132rexbii 2966 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ KQ KQ
15 rexcom 3023 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ KQ KQ
1614, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11 KQ KQ KQ KQ
177, 16sylnib 304 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 19991 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
198, 18impbid 191 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
2019expr 615 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
2120ralrimdva 2882 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
221kqfeq 19976 . . . . . . . . 9 TopOn
23 elequ2 1772 . . . . . . . . . . 11
24 elequ2 1772 . . . . . . . . . . 11
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . 10
2625cbvralv 3088 . . . . . . . . 9
2722, 26syl6bb 261 . . . . . . . 8 TopOn
28273expb 1197 . . . . . . 7 TopOn
2928adantlr 714 . . . . . 6 TopOn
3021, 29sylibrd 234 . . . . 5 TopOn KQ KQ
3130necon1ad 2683 . . . 4 TopOn KQ KQ
3231ralrimivva 2885 . . 3 TopOn KQ KQ
331kqffn 19977 . . . . 5 TopOn
3433adantr 465 . . . 4 TopOn
35 neeq1 2748 . . . . . . . 8
36 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
37363anbi1d 1303 . . . . . . . . 9
38372rexbidv 2980 . . . . . . . 8 KQ KQ KQ KQ
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
4039ralbidv 2903 . . . . . 6 KQ KQ KQ KQ
4140ralrn 6023 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
42 neeq2 2750 . . . . . . . 8
43 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
44433anbi2d 1304 . . . . . . . . 9
45442rexbidv 2980 . . . . . . . 8 KQ KQ KQ KQ
4642, 45imbi12d 320 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
4746ralrn 6023 . . . . . 6 KQ KQ KQ KQ
4847ralbidv 2903 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
4941, 48bitrd 253 . . . 4 KQ KQ KQ KQ
5034, 49syl 16 . . 3 TopOn KQ KQ KQ KQ
5132, 50mpbird 232 . 2 TopOn KQ KQ
521kqtopon 19979 . . . 4 TopOn KQ TopOn
5352adantr 465 . . 3 TopOn KQ TopOn
54 ishaus2 19634 . . 3 KQ TopOn KQ KQ KQ
5553, 54syl 16 . 2 TopOn KQ KQ KQ
5651, 55mpbird 232 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818   cin 3475  c0 3785   cmpt 4505   crn 5000   wfn 5582  cfv 5587  TopOnctopon 19178  cha 19591  creg 19592  KQckq 19945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-qtop 14761  df-top 19182  df-topon 19185  df-cld 19302  df-cls 19304  df-haus 19598  df-reg 19599  df-kq 19946 This theorem is referenced by:  regr1  20002
 Copyright terms: Public domain W3C validator