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Theorem regr1lem 19312
Description: Lemma for regr1 19323. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
regr1lem.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
regr1lem.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
regr1lem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
regr1lem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
regr1lem.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
regr1lem.7  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
Assertion
Ref Expression
regr1lem  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, A    B, m, n, x, y    m, J, n, x, y    m, F, n    m, X, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m, n)    U( x, y, m, n)    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  J  e.  Reg )
3 regr1lem.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  U  e.  J )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  A  e.  U )
6 regsep 18938 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  U  e.  J  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
8 regr1lem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
98ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1110ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  e.  J )
13 kqval.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
1413kqopn 19307 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
16 toponuni 18532 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  X  =  U. J
)
1817difeq1d 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
19 topontop 18531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  Top )
21 elssuni 4121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
2212, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  U. J )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
2423clscld 18651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2520, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
) )
2623cldopn 18635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2818, 27eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2913kqopn 19307 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)  ->  ( F " ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J ) )
3011, 28, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  e.  (KQ `  J ) )
31 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  A  e.  z )
3231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  z )
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  X )
3513kqfvima 19303 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  z  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
3611, 12, 34, 35syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( A  e.  z  <-> 
( F `  A
)  e.  ( F
" z ) ) )
3732, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  A
)  e.  ( F
" z ) )
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  X )
40 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
4140sseld 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )  ->  B  e.  U ) )
4241con3dimp 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  -.  B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )
)
4339, 42eldifd 3339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
4413kqfvima 19303 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J  /\  B  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
4511, 28, 39, 44syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( B  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) )  <-> 
( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) ) )
4643, 45mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )
4723sscls 18660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  z  C_  (
( cls `  J
) `  z )
)
4820, 22, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  ( ( cls `  J ) `  z ) )
4948sscond 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  C_  ( X  \  z ) )
50 imass2 5204 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) ) 
C_  ( X  \ 
z )  ->  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  C_  ( F " ( X  \ 
z ) ) )
51 sslin 3576 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  C_  ( F " ( X 
\  z ) )  ->  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) 
C_  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) ) )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) ) )
5313kqdisj 19305 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
( F " z
)  i^i  ( F " ( X  \  z
) ) )  =  (/) )
5411, 12, 53syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  =  (/) )
55 sseq0 3669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  /\  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
5652, 54, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
57 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( F `  A
)  e.  m  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
58 ineq1 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  n ) )
5958eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  n )  =  (/) ) )
6057, 593anbi13d 1291 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
61 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F `  B
)  e.  n  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
62 ineq2 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F " z
)  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
6362eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) )  =  (/) ) )
6461, 633anbi23d 1292 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) ) )
6560, 64rspc2ev 3081 . . . . . 6  |-  ( ( ( F " z
)  e.  (KQ `  J )  /\  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J )  /\  ( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6766ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( -.  B  e.  U  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
689, 67mt3d 125 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  B  e.  U
)
697, 68rexlimddv 2845 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  B  e.  U )
7069ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   {crab 2719    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091    e. cmpt 4350   "cima 4843   ` cfv 5418   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   Clsdccld 18620   clsccl 18622   Regcreg 18913  KQckq 19266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-qtop 14445  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-cls 18625  df-reg 18920  df-kq 19267
This theorem is referenced by:  regr1lem2  19313
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