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Theorem regr1lem 20831
Description: Lemma for regr1 20842. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
regr1lem.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
regr1lem.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
regr1lem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
regr1lem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
regr1lem.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
regr1lem.7  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
Assertion
Ref Expression
regr1lem  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, A    B, m, n, x, y    m, J, n, x, y    m, F, n    m, X, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m, n)    U( x, y, m, n)    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
21adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  J  e.  Reg )
3 regr1lem.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
43adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  U  e.  J )
5 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  A  e.  U )
6 regsep 20427 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  U  e.  J  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
8 regr1lem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
98ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1110ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  e.  J )
13 kqval.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
1413kqopn 20826 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
1511, 12, 14syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
16 toponuni 20019 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  X  =  U. J
)
1817difeq1d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
19 topontop 20018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  Top )
21 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  U. J )
23 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
2423clscld 20139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2520, 22, 24syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
) )
2623cldopn 20123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2818, 27eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2913kqopn 20826 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)  ->  ( F " ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J ) )
3011, 28, 29syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  e.  (KQ `  J ) )
31 simprrl 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  A  e.  z )
3231adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  z )
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3433ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  X )
3513kqfvima 20822 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  z  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
3611, 12, 34, 35syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( A  e.  z  <-> 
( F `  A
)  e.  ( F
" z ) ) )
3732, 36mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  A
)  e.  ( F
" z ) )
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3938ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  X )
40 simprrr 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
4140sseld 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )  ->  B  e.  U ) )
4241con3dimp 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  -.  B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )
)
4339, 42eldifd 3401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
4413kqfvima 20822 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J  /\  B  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
4511, 28, 39, 44syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( B  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) )  <-> 
( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) ) )
4643, 45mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )
4723sscls 20148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  z  C_  (
( cls `  J
) `  z )
)
4820, 22, 47syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  ( ( cls `  J ) `  z ) )
4948sscond 3559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  C_  ( X  \  z ) )
50 imass2 5210 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) ) 
C_  ( X  \ 
z )  ->  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  C_  ( F " ( X  \ 
z ) ) )
51 sslin 3649 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  C_  ( F " ( X 
\  z ) )  ->  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) 
C_  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) ) )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) ) )
5313kqdisj 20824 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
( F " z
)  i^i  ( F " ( X  \  z
) ) )  =  (/) )
5411, 12, 53syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  =  (/) )
55 sseq0 3769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  /\  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
5652, 54, 55syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
57 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( F `  A
)  e.  m  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
58 ineq1 3618 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  n ) )
5958eqeq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  n )  =  (/) ) )
6057, 593anbi13d 1367 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
61 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F `  B
)  e.  n  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
62 ineq2 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F " z
)  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
6362eqeq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) )  =  (/) ) )
6461, 633anbi23d 1368 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) ) )
6560, 64rspc2ev 3149 . . . . . 6  |-  ( ( ( F " z
)  e.  (KQ `  J )  /\  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J )  /\  ( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1304 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6766ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( -.  B  e.  U  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
689, 67mt3d 130 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  B  e.  U
)
697, 68rexlimddv 2875 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  B  e.  U )
7069ex 441 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   "cima 4842   ` cfv 5589   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Regcreg 20402  KQckq 20785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-reg 20409  df-kq 20786
This theorem is referenced by:  regr1lem2  20832
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