MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regr1 Structured version   Unicode version

Theorem regr1 20543
Description: A regular space is R1, which means that any two topologically distinct points can be separated by neighborhoods. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
regr1  |-  ( J  e.  Reg  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )

Proof of Theorem regr1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regtop 20127 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 19726 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 196 . 2  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65regr1lem2 20533 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
74, 6mpancom 667 1  |-  ( J  e.  Reg  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   {crab 2758   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   Hauscha 20102   Regcreg 20103  KQckq 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-qtop 15121  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cls 19814  df-haus 20109  df-reg 20110  df-kq 20487
This theorem is referenced by:  reghaus  20618
  Copyright terms: Public domain W3C validator