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Theorem reghmph 20121
Description: Regularity is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )

Proof of Theorem reghmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20104 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3794 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20088 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 19548 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Reg )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 19572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f " x
)  e.  J )
12 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1412, 13hmeof1o 20092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
16 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  `' f : U. K
-1-1-onto-> U. J )
17 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : U. K -1-1-onto-> U. J  ->  `' f  Fn 
U. K )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  `' f  Fn  U. K )
19 elssuni 4275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. K )
21 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
22 fnfvima 6139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  Fn  U. K  /\  x  C_  U. K  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' f `  y )  e.  ( `' f "
x ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )
24 regsep 19641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' f " x
)  e.  J  /\  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
257, 11, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
26 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
27 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  e.  J
)
28 hmeoima 20093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
w )  e.  K
)
3020, 21sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. K )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  U. K )
32 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( `' f `
 y )  e.  w )
3318adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  `' f  Fn 
U. K )
34 elpreima 6002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' f  Fn  U. K  ->  ( y  e.  ( `' `' f " w
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' `' f
" w )  <->  ( y  e.  U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3631, 32, 35mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( `' `' f " w
) )
37 imacnvcnv 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' f " w
)  =  ( f
" w )
3836, 37syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( f " w ) )
39 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
4112hmeocls 20096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  =  ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
43 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) )
4415adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f : U. J
-1-1-onto-> U. K )
45 f1ofun 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  Fun  f )
477adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
48 regtop 19640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5012clsss3 19366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5149, 40, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
52 f1odm 5820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5344, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5451, 53sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  dom  f )
55 funimass3 5998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5646, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) )  C_  x  <->  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
5743, 56mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x )
5842, 57eqsstrd 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
59 eleq2 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( f " w
) ) )
60 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6160sseq1d 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )  <->  ( y  e.  ( f
" w )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x ) ) )
6362rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  e.  ( f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6429, 38, 58, 63syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
6525, 64rexlimddv 2959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6665ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
67 isreg 19639 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Reg  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
686, 66, 67sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Reg )
6968expcom 435 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
7069exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg )
)
712, 70sylbi 195 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Reg  ->  K  e.  Reg ) )
721, 71sylbi 195 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Topctop 19201   clsccl 19325    Cn ccn 19531   Regcreg 19616   Homeochmeo 20081    ~= chmph 20082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-1o 7131  df-map 7423  df-top 19206  df-topon 19209  df-cld 19326  df-cls 19328  df-cn 19534  df-reg 19623  df-hmeo 20083  df-hmph 20084
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