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Theorem reghmph 20806
Description: Regularity is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )

Proof of Theorem reghmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20789 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3771 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20773 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 20255 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Reg )
84adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 20279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f " x
)  e.  J )
12 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1412, 13hmeof1o 20777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
1514ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
16 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  `' f : U. K
-1-1-onto-> U. J )
17 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : U. K -1-1-onto-> U. J  ->  `' f  Fn 
U. K )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  `' f  Fn  U. K )
19 elssuni 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
2019ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. K )
21 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
22 fnfvima 6158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  Fn  U. K  /\  x  C_  U. K  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' f `  y )  e.  ( `' f "
x ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )
24 regsep 20348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' f " x
)  e.  J  /\  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
257, 11, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
26 simpllr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
27 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  e.  J
)
28 hmeoima 20778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2926, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
w )  e.  K
)
3020, 21sseldd 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. K )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  U. K )
32 simprrl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( `' f `
 y )  e.  w )
3318adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  `' f  Fn 
U. K )
34 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' f  Fn  U. K  ->  ( y  e.  ( `' `' f " w
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' `' f
" w )  <->  ( y  e.  U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3631, 32, 35mpbir2and 930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( `' `' f " w
) )
37 imacnvcnv 5319 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' f " w
)  =  ( f
" w )
3836, 37syl6eleq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( f " w ) )
39 elssuni 4248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
4112hmeocls 20781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4226, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  =  ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
43 simprrr 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) )
4415adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f : U. J
-1-1-onto-> U. K )
45 f1ofun 5833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  Fun  f )
477adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
48 regtop 20347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5012clsss3 20072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5149, 40, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
52 f1odm 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5451, 53sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  dom  f )
55 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5646, 54, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) )  C_  x  <->  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
5743, 56mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x )
5842, 57eqsstrd 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
59 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( f " w
) ) )
60 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6160sseq1d 3491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6259, 61anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )  <->  ( y  e.  ( f
" w )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x ) ) )
6362rspcev 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  e.  ( f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6429, 38, 58, 63syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
6525, 64rexlimddv 2918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6665ralrimivva 2843 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
67 isreg 20346 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Reg  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
686, 66, 67sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Reg )
6968expcom 436 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
7069exlimiv 1770 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg )
)
712, 70sylbi 198 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Reg  ->  K  e.  Reg ) )
721, 71sylbi 198 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4219   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Topctop 19915   clsccl 20031    Cn ccn 20238   Regcreg 20323   Homeochmeo 20766    ~= chmph 20767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-1o 7193  df-map 7485  df-top 19919  df-topon 19921  df-cld 20032  df-cls 20034  df-cn 20241  df-reg 20330  df-hmeo 20768  df-hmph 20769
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