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Theorem reghmph 19378
Description: Regularity is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )

Proof of Theorem reghmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 19361 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3658 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 19345 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 18857 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Reg )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 18881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f " x
)  e.  J )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1412, 13hmeof1o 19349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
16 f1ocnv 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  `' f : U. K
-1-1-onto-> U. J )
17 f1ofn 5654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : U. K -1-1-onto-> U. J  ->  `' f  Fn 
U. K )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  `' f  Fn  U. K )
19 elssuni 4133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. K )
21 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
22 fnfvima 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  Fn  U. K  /\  x  C_  U. K  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' f `  y )  e.  ( `' f "
x ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )
24 regsep 18950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' f " x
)  e.  J  /\  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
257, 11, 23, 24syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
26 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
27 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  e.  J
)
28 hmeoima 19350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
w )  e.  K
)
3020, 21sseldd 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. K )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  U. K )
32 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( `' f `
 y )  e.  w )
3318adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  `' f  Fn 
U. K )
34 elpreima 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' f  Fn  U. K  ->  ( y  e.  ( `' `' f " w
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' `' f
" w )  <->  ( y  e.  U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3631, 32, 35mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( `' `' f " w
) )
37 imacnvcnv 5315 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' f " w
)  =  ( f
" w )
3836, 37syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( f " w ) )
39 elssuni 4133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
4112hmeocls 19353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  =  ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
43 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) )
4415adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f : U. J
-1-1-onto-> U. K )
45 f1ofun 5655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  Fun  f )
477adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
48 regtop 18949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5012clsss3 18675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5149, 40, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
52 f1odm 5657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5344, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5451, 53sseqtr4d 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  dom  f )
55 funimass3 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5646, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) )  C_  x  <->  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
5743, 56mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x )
5842, 57eqsstrd 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
59 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( f " w
) ) )
60 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6160sseq1d 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )  <->  ( y  e.  ( f
" w )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x ) ) )
6362rspcev 3085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  e.  ( f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6429, 38, 58, 63syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
6525, 64rexlimddv 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6665ralrimivva 2820 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
67 isreg 18948 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Reg  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
686, 66, 67sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Reg )
6968expcom 435 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
7069exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg )
)
712, 70sylbi 195 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Reg  ->  K  e.  Reg ) )
721, 71sylbi 195 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   (/)c0 3649   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   "cima 4855   Fun wfun 5424    Fn wfn 5425   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Topctop 18510   clsccl 18634    Cn ccn 18840   Regcreg 18925   Homeochmeo 19338    ~= chmph 19339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-1o 6932  df-map 7228  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-cls 18637  df-cn 18843  df-reg 18932  df-hmeo 19340  df-hmph 19341
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