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Theorem reghmph 20885
Description: Regularity is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )

Proof of Theorem reghmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20868 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3732 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20852 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 20334 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Reg )
84adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 20358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f " x
)  e.  J )
12 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
13 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1412, 13hmeof1o 20856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
1514ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
16 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  `' f : U. K
-1-1-onto-> U. J )
17 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : U. K -1-1-onto-> U. J  ->  `' f  Fn 
U. K )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  `' f  Fn  U. K )
19 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
2019ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. K )
21 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
22 fnfvima 6161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  Fn  U. K  /\  x  C_  U. K  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' f `  y )  e.  ( `' f "
x ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )
24 regsep 20427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' f " x
)  e.  J  /\  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
257, 11, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
26 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
27 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  e.  J
)
28 hmeoima 20857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2926, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
w )  e.  K
)
3020, 21sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. K )
3130adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  U. K )
32 simprrl 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( `' f `
 y )  e.  w )
3318adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  `' f  Fn 
U. K )
34 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' f  Fn  U. K  ->  ( y  e.  ( `' `' f " w
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' `' f
" w )  <->  ( y  e.  U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3631, 32, 35mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( `' `' f " w
) )
37 imacnvcnv 5307 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' f " w
)  =  ( f
" w )
3836, 37syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( f " w ) )
39 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
4112hmeocls 20860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4226, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  =  ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
43 simprrr 783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) )
4415adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f : U. J
-1-1-onto-> U. K )
45 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  Fun  f )
477adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
48 regtop 20426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5012clsss3 20151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5149, 40, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
52 f1odm 5832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5451, 53sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  dom  f )
55 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5646, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) )  C_  x  <->  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
5743, 56mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x )
5842, 57eqsstrd 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
59 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( f " w
) ) )
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6160sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6259, 61anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )  <->  ( y  e.  ( f
" w )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x ) ) )
6362rspcev 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  e.  ( f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6429, 38, 58, 63syl12anc 1290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
6525, 64rexlimddv 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6665ralrimivva 2814 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
67 isreg 20425 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Reg  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
686, 66, 67sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Reg )
6968expcom 442 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
7069exlimiv 1784 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg )
)
712, 70sylbi 200 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Reg  ->  K  e.  Reg ) )
721, 71sylbi 200 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994   clsccl 20110    Cn ccn 20317   Regcreg 20402   Homeochmeo 20845    ~= chmph 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-1o 7200  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320  df-reg 20409  df-hmeo 20847  df-hmph 20848
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