MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reghaus Structured version   Unicode version

Theorem reghaus 20434
Description: A regular T0 space is Hausdorff. In other words, a T3 space is T2 . A regular Hausdorff or T0 space is also known as a T3 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghaus  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )

Proof of Theorem reghaus
StepHypRef Expression
1 haust1 19962 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1t0 19958 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Kol2 )
4 regr1 20359 . . . . 5  |-  ( J  e.  Reg  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
54anim2i 567 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J )  e.  Haus ) )
6 ishaus3 20432 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)
75, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  J  e.  Haus )
87expcom 433 . 2  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Kol2  ->  J  e.  Haus ) )
93, 8impbid2 204 1  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1836   ` cfv 5513   Kol2ct0 19916   Frect1 19917   Hauscha 19918   Regcreg 19919  KQckq 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-1o 7070  df-map 7362  df-topgen 14874  df-qtop 14937  df-top 19507  df-topon 19510  df-cld 19628  df-cls 19630  df-cn 19837  df-t0 19923  df-t1 19924  df-haus 19925  df-reg 19926  df-kq 20303  df-hmeo 20364  df-hmph 20365
This theorem is referenced by:  nrmhaus  20435
  Copyright terms: Public domain W3C validator