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Theorem refun0 20182
Description: Adding the empty set preserves refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
refun0  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  u.  { (/) } ) Ref B )

Proof of Theorem refun0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
2 eqid 2454 . . . 4  |-  U. B  =  U. B
31, 2refbas 20177 . . 3  |-  ( A Ref B  ->  U. B  =  U. A )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  U. B  =  U. A )
5 elun 3631 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { (/) } ) )
6 refssex 20178 . . . . . 6  |-  ( ( A Ref B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
76adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
8 0ss 3813 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  y
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Ref B  /\  y  e.  B )  -> 
(/)  C_  y )
109reximdva0 3795 . . . . . . 7  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
)
1110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  E. y  e.  B  (/)  C_  y )
12 elsni 4041 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
13 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  y  <->  (/)  C_  y
) )
1413rexbidv 2965 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  x 
C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
) )
1615adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y ) )
1711, 16mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
187, 17jaodan 783 . . . 4  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  { (/) } ) )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y
)
195, 18sylan2b 473 . . 3  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( A  u.  { (/) } ) )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
2019ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
)
21 refrel 20175 . . . . . 6  |-  Rel  Ref
2221brrelexi 5029 . . . . 5  |-  ( A Ref B  ->  A  e.  _V )
23 p0ex 4624 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
24 unexg 6574 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( A  u.  {
(/) } )  e.  _V )
2522, 23, 24sylancl 660 . . . 4  |-  ( A Ref B  ->  ( A  u.  { (/) } )  e.  _V )
26 uniun 4254 . . . . . 6  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
27 0ex 4569 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2827unisn 4250 . . . . . . 7  |-  U. { (/)
}  =  (/)
2928uneq2i 3641 . . . . . 6  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
30 un0 3809 . . . . . 6  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
3126, 29, 303eqtrri 2488 . . . . 5  |-  U. A  =  U. ( A  u.  {
(/) } )
3231, 2isref 20176 . . . 4  |-  ( ( A  u.  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
3325, 32syl 16 . . 3  |-  ( A Ref B  ->  (
( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
3433adantr 463 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
354, 20, 34mpbir2and 920 1  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  u.  { (/) } ) Ref B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   Refcref 20169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-ref 20172
This theorem is referenced by:  locfinref  28079
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