MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  refun0 Structured version   Unicode version

Theorem refun0 19889
Description: Adding the empty set preserves refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
refun0  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  u.  { (/) } ) Ref B )

Proof of Theorem refun0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
2 eqid 2443 . . . 4  |-  U. B  =  U. B
31, 2refbas 19884 . . 3  |-  ( A Ref B  ->  U. B  =  U. A )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  U. B  =  U. A )
5 elun 3630 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { (/) } ) )
6 refssex 19885 . . . . . 6  |-  ( ( A Ref B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
76adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
8 0ss 3800 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  y
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Ref B  /\  y  e.  B )  -> 
(/)  C_  y )
109reximdva0 3782 . . . . . . 7  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
)
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  E. y  e.  B  (/)  C_  y )
12 elsni 4039 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
13 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  y  <->  (/)  C_  y
) )
1413rexbidv 2954 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  x 
C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y
) )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  y  <->  E. y  e.  B  (/)  C_  y ) )
1711, 16mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  { (/) } )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
187, 17jaodan 785 . . . 4  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  { (/) } ) )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y
)
195, 18sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( A  u.  { (/) } ) )  ->  E. y  e.  B  x  C_  y )
2019ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
)
21 refrel 19882 . . . . . 6  |-  Rel  Ref
2221brrelexi 5030 . . . . 5  |-  ( A Ref B  ->  A  e.  _V )
23 p0ex 4624 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
24 unexg 6586 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( A  u.  {
(/) } )  e.  _V )
2522, 23, 24sylancl 662 . . . 4  |-  ( A Ref B  ->  ( A  u.  { (/) } )  e.  _V )
26 uniun 4253 . . . . . 6  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
27 0ex 4567 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2827unisn 4249 . . . . . . 7  |-  U. { (/)
}  =  (/)
2928uneq2i 3640 . . . . . 6  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
30 un0 3796 . . . . . 6  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
3126, 29, 303eqtrri 2477 . . . . 5  |-  U. A  =  U. ( A  u.  {
(/) } )
3231, 2isref 19883 . . . 4  |-  ( ( A  u.  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
3325, 32syl 16 . . 3  |-  ( A Ref B  ->  (
( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
3433adantr 465 . 2  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( A  u.  { (/)
} ) Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) E. y  e.  B  x  C_  y
) ) )
354, 20, 34mpbir2and 922 1  |-  ( ( A Ref B  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  u.  { (/) } ) Ref B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   Refcref 19876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-xp 4995  df-rel 4996  df-ref 19879
This theorem is referenced by:  locfinref  27717
  Copyright terms: Public domain W3C validator