Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Unicode version

Theorem refsumcn 36785
 Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 21666 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1
refsumcn.2
refsumcn.3 TopOn
refsumcn.4
refsumcn.5
Assertion
Ref Expression
refsumcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4 fld fld
2 refsumcn.3 . . . 4 TopOn
3 refsumcn.4 . . . 4
4 refsumcn.5 . . . . . 6
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8
61tgioo2 21600 . . . . . . . 8 fldt
75, 6eqtri 2431 . . . . . . 7 fldt
87oveq2i 6289 . . . . . 6 fldt
94, 8syl6eleq 2500 . . . . 5 fldt
101cnfldtopon 21582 . . . . . . 7 fld TopOn
1110a1i 11 . . . . . 6 fld TopOn
122adantr 463 . . . . . . . 8 TopOn
13 retopon 21562 . . . . . . . . . 10 TopOn
145, 13eqeltri 2486 . . . . . . . . 9 TopOn
1514a1i 11 . . . . . . . 8 TopOn
16 cnf2 20043 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1712, 15, 4, 16syl3anc 1230 . . . . . . 7
18 frn 5720 . . . . . . 7
1917, 18syl 17 . . . . . 6
20 ax-resscn 9579 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
22 cnrest2 20080 . . . . . 6 fld TopOn fld fldt
2311, 19, 21, 22syl3anc 1230 . . . . 5 fld fldt
249, 23mpbird 232 . . . 4 fld
251, 2, 3, 24fsumcnf 36776 . . 3 fld
2610a1i 11 . . . 4 fld TopOn
27 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11
283adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
29 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14
32 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14
33 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433fmpt 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3517, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 rsp 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3831, 32, 37sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
3928, 38fsumrecl 13705 . . . . . . . . . . . 12
4039ex 432 . . . . . . . . . . 11
4127, 40ralrimi 2804 . . . . . . . . . 10
42 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
4342fnmpt 5690 . . . . . . . . . 10
4441, 43syl 17 . . . . . . . . 9
45 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10
46 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10
47 nfmpt1 4484 . . . . . . . . . 10
4845, 46, 47fvelrnbf 36773 . . . . . . . . 9
4944, 48syl 17 . . . . . . . 8
5049biimpa 482 . . . . . . 7
5147nfrn 5066 . . . . . . . . . 10
5251nfcri 2557 . . . . . . . . 9
5327, 52nfan 1956 . . . . . . . 8
54 nfcv 2564 . . . . . . . . 9
5554nfcri 2557 . . . . . . . 8
56 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756, 39jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14
5842fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
60593adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12
61 simp3 999 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . 11
63393adant3 1017 . . . . . . . . . . 11
6462, 63eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10
65643adant1r 1223 . . . . . . . . 9
66653exp 1196 . . . . . . . 8
6753, 55, 66rexlimd 2888 . . . . . . 7
6850, 67mpd 15 . . . . . 6
6968ex 432 . . . . 5
7069ssrdv 3448 . . . 4
7120a1i 11 . . . 4
72 cnrest2 20080 . . . 4 fld TopOn fld fldt
7326, 70, 71, 72syl3anc 1230 . . 3 fld fldt
7425, 73mpbid 210 . 2 fldt
7574, 8syl6eleqr 2501 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405  wnf 1637   wcel 1842  wral 2754  wrex 2755   wss 3414   cmpt 4453   crn 4824   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cfn 7554  cc 9520  cr 9521  cioo 11582  csu 13657   ↾t crest 15035  ctopn 15036  ctg 15052  ℂfldccnfld 18740  TopOnctopon 19687   ccn 20018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117 This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  36792
 Copyright terms: Public domain W3C validator