Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refssfne Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem refssfne 31085
 Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1
refssfne.2
Assertion
Ref Expression
refssfne
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 20600 . . . . . . 7
21brrelex2i 4881 . . . . . 6
32adantl 473 . . . . 5
41brrelexi 4880 . . . . . 6
54adantl 473 . . . . 5
6 unexg 6611 . . . . 5
73, 5, 6syl2anc 673 . . . 4
8 ssun2 3589 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 ssun1 3588 . . . . . . 7
1110a1i 11 . . . . . 6
12 eqimss2 3471 . . . . . . . . 9
1312adantr 472 . . . . . . . 8
14 ssequn2 3598 . . . . . . . 8
1513, 14sylib 201 . . . . . . 7
1615eqcomd 2477 . . . . . 6
17 refssfne.1 . . . . . . 7
18 refssfne.2 . . . . . . . . 9
1917, 18uneq12i 3577 . . . . . . . 8
20 uniun 4209 . . . . . . . 8
2119, 20eqtr4i 2496 . . . . . . 7
2217, 21fness 31076 . . . . . 6
237, 11, 16, 22syl3anc 1292 . . . . 5
24 elun 3565 . . . . . . . 8
25 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11
26 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . 12
2726rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
2825, 27mpan2 685 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9
30 refssex 20603 . . . . . . . . . . 11
3130ex 441 . . . . . . . . . 10
3231adantl 473 . . . . . . . . 9
3329, 32jaod 387 . . . . . . . 8
3424, 33syl5bi 225 . . . . . . 7
3534ralrimiv 2808 . . . . . 6
3621, 17isref 20601 . . . . . . 7
377, 36syl 17 . . . . . 6
3816, 35, 37mpbir2and 936 . . . . 5
399, 23, 38jca32 544 . . . 4
40 sseq2 3440 . . . . . 6
41 breq2 4399 . . . . . . 7
42 breq1 4398 . . . . . . 7
4341, 42anbi12d 725 . . . . . 6
4440, 43anbi12d 725 . . . . 5
4544spcegv 3121 . . . 4
467, 39, 45sylc 61 . . 3
4746ex 441 . 2
48 vex 3034 . . . . . . . 8
4948ssex 4540 . . . . . . 7
5049ad2antrl 742 . . . . . 6
51 simprl 772 . . . . . 6
52 simpl 464 . . . . . . 7
53 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
5453, 17refbas 20602 . . . . . . . . 9
5554adantl 473 . . . . . . . 8
5655ad2antll 743 . . . . . . 7
5752, 56eqtr3d 2507 . . . . . 6
5818, 53ssref 20604 . . . . . 6
5950, 51, 57, 58syl3anc 1292 . . . . 5
60 simprrr 783 . . . . 5
61 reftr 20606 . . . . 5
6259, 60, 61syl2anc 673 . . . 4
6362ex 441 . . 3
6463exlimdv 1787 . 2
6547, 64impbid 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   wss 3390  cuni 4190   class class class wbr 4395  cref 20594  cfne 31063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-ref 20597  df-fne 31064 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator