Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refssfne Structured version   Unicode version

Theorem refssfne 31006
Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1  |-  X  = 
U. A
refssfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
refssfne  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 20509 . . . . . . 7  |-  Rel  Ref
21brrelex2i 4891 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  A  e.  _V )
32adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  e.  _V )
41brrelexi 4890 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  B  e.  _V )
54adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  e.  _V )
6 unexg 6602 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
73, 5, 6syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
8 ssun2 3630 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
10 ssun1 3629 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
12 eqimss2 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  Y  C_  X )
1312adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  Y  C_  X )
14 ssequn2 3639 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  u.  Y )  =  X )
1513, 14sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( X  u.  Y
)  =  X )
1615eqcomd 2430 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  X  =  ( X  u.  Y ) )
17 refssfne.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. A
18 refssfne.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
1917, 18uneq12i 3618 . . . . . . . 8  |-  ( X  u.  Y )  =  ( U. A  u.  U. B )
20 uniun 4235 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
2119, 20eqtr4i 2454 . . . . . . 7  |-  ( X  u.  Y )  = 
U. ( A  u.  B )
2217, 21fness 30997 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  A  C_  ( A  u.  B )  /\  X  =  ( X  u.  Y ) )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
237, 11, 16, 22syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
24 elun 3606 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
25 ssid 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  x
26 sseq2 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2726rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2825, 27mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
30 refssex 20512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B Ref A  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
3130ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( B Ref A  ->  (
x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3231adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3329, 32jaod 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
3424, 33syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3534ralrimiv 2837 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y )
3621, 17isref 20510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
377, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( A  u.  B ) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x 
C_  y ) ) )
3816, 35, 37mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
) Ref A )
399, 23, 38jca32 537 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
40 sseq2 3486 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( B  C_  c  <->  B  C_  ( A  u.  B )
) )
41 breq2 4424 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( A Fne c  <->  A Fne ( A  u.  B
) ) )
42 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
c Ref A  <->  ( A  u.  B ) Ref A
) )
4341, 42anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( A Fne c  /\  c Ref A )  <-> 
( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
4440, 43anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( B  C_  ( A  u.  B
)  /\  ( A Fne ( A  u.  B
)  /\  ( A  u.  B ) Ref A
) ) ) )
4544spcegv 3167 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) )  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
467, 39, 45sylc 62 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
4746ex 435 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
48 vex 3084 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
4948ssex 4564 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  c  ->  B  e.  _V )
5049ad2antrl 732 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
51 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  C_  c
)
52 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
53 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  U. c  =  U. c
5453, 17refbas 20511 . . . . . . . . 9  |-  ( c Ref A  ->  X  =  U. c )
5554adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  ->  X  =  U. c
)
5655ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
5752, 56eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  Y  =  U. c )
5818, 53ssref 20513 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  B  C_  c  /\  Y  =  U. c )  ->  B Ref c )
5950, 51, 57, 58syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref c )
60 simprrr 773 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Ref A )
61 reftr 20515 . . . . 5  |-  ( ( B Ref c  /\  c Ref A )  ->  B Ref A )
6259, 60, 61syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref A )
6362ex 435 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  B Ref A ) )
6463exlimdv 1768 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  B Ref A ) )
6547, 64impbid 193 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    u. cun 3434    C_ wss 3436   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   Refcref 20503   Fnecfne 30984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fv 5605  df-topgen 15329  df-ref 20506  df-fne 30985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator