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Theorem refssfne 30381
Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1  |-  X  = 
U. A
refssfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
refssfne  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 20135 . . . . . . 7  |-  Rel  Ref
21brrelex2i 5050 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  A  e.  _V )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  e.  _V )
41brrelexi 5049 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  B  e.  _V )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  e.  _V )
6 unexg 6600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
8 ssun2 3664 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
10 ssun1 3663 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
12 eqimss2 3552 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  Y  C_  X )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  Y  C_  X )
14 ssequn2 3673 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  u.  Y )  =  X )
1513, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( X  u.  Y
)  =  X )
1615eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  X  =  ( X  u.  Y ) )
17 refssfne.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. A
18 refssfne.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
1917, 18uneq12i 3652 . . . . . . . 8  |-  ( X  u.  Y )  =  ( U. A  u.  U. B )
20 uniun 4270 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
2119, 20eqtr4i 2489 . . . . . . 7  |-  ( X  u.  Y )  = 
U. ( A  u.  B )
2217, 21fness 30372 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  A  C_  ( A  u.  B )  /\  X  =  ( X  u.  Y ) )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
237, 11, 16, 22syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
24 elun 3641 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
25 ssid 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  x
26 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2726rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2825, 27mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
30 refssex 20138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B Ref A  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
3130ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( B Ref A  ->  (
x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3329, 32jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
3424, 33syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3534ralrimiv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y )
3621, 17isref 20136 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
377, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( A  u.  B ) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x 
C_  y ) ) )
3816, 35, 37mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
) Ref A )
399, 23, 38jca32 535 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
40 sseq2 3521 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( B  C_  c  <->  B  C_  ( A  u.  B )
) )
41 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( A Fne c  <->  A Fne ( A  u.  B
) ) )
42 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
c Ref A  <->  ( A  u.  B ) Ref A
) )
4341, 42anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( A Fne c  /\  c Ref A )  <-> 
( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
4440, 43anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( B  C_  ( A  u.  B
)  /\  ( A Fne ( A  u.  B
)  /\  ( A  u.  B ) Ref A
) ) ) )
4544spcegv 3195 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) )  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
467, 39, 45sylc 60 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
4746ex 434 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
48 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
4948ssex 4600 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  c  ->  B  e.  _V )
5049ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
51 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  C_  c
)
52 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
53 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  U. c  =  U. c
5453, 17refbas 20137 . . . . . . . . 9  |-  ( c Ref A  ->  X  =  U. c )
5554adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  ->  X  =  U. c
)
5655ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
5752, 56eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  Y  =  U. c )
5818, 53ssref 20139 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  B  C_  c  /\  Y  =  U. c )  ->  B Ref c )
5950, 51, 57, 58syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref c )
60 simprrr 766 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Ref A )
61 reftr 20141 . . . . 5  |-  ( ( B Ref c  /\  c Ref A )  ->  B Ref A )
6259, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref A )
6362ex 434 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  B Ref A ) )
6463exlimdv 1725 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  B Ref A ) )
6547, 64impbid 191 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   Refcref 20129   Fnecfne 30359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14861  df-ref 20132  df-fne 30360
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