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Theorem refssfne 31014
Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1  |-  X  = 
U. A
refssfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
refssfne  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 20523 . . . . . . 7  |-  Rel  Ref
21brrelex2i 4876 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  A  e.  _V )
32adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  e.  _V )
41brrelexi 4875 . . . . . 6  |-  ( B Ref A  ->  B  e.  _V )
54adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  e.  _V )
6 unexg 6592 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
73, 5, 6syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
8 ssun2 3598 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
10 ssun1 3597 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
12 eqimss2 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  Y  C_  X )
1312adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  Y  C_  X )
14 ssequn2 3607 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  u.  Y )  =  X )
1513, 14sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( X  u.  Y
)  =  X )
1615eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  X  =  ( X  u.  Y ) )
17 refssfne.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. A
18 refssfne.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
1917, 18uneq12i 3586 . . . . . . . 8  |-  ( X  u.  Y )  =  ( U. A  u.  U. B )
20 uniun 4217 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
2119, 20eqtr4i 2476 . . . . . . 7  |-  ( X  u.  Y )  = 
U. ( A  u.  B )
2217, 21fness 31005 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  A  C_  ( A  u.  B )  /\  X  =  ( X  u.  Y ) )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
237, 11, 16, 22syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
24 elun 3574 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
25 ssid 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  x
26 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2726rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2825, 27mpan2 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
30 refssex 20526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B Ref A  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
3130ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( B Ref A  ->  (
x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3231adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3329, 32jaod 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
3424, 33syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3534ralrimiv 2800 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y )
3621, 17isref 20524 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
377, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( ( A  u.  B ) Ref A  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x 
C_  y ) ) )
3816, 35, 37mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( A  u.  B
) Ref A )
399, 23, 38jca32 538 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
40 sseq2 3454 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( B  C_  c  <->  B  C_  ( A  u.  B )
) )
41 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( A Fne c  <->  A Fne ( A  u.  B
) ) )
42 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
c Ref A  <->  ( A  u.  B ) Ref A
) )
4341, 42anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( A Fne c  /\  c Ref A )  <-> 
( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) ) )
4440, 43anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( B  C_  ( A  u.  B
)  /\  ( A Fne ( A  u.  B
)  /\  ( A  u.  B ) Ref A
) ) ) )
4544spcegv 3135 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A Fne ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
) Ref A ) )  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
467, 39, 45sylc 62 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  B Ref A )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
4746ex 436 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  ->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
48 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
4948ssex 4547 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  c  ->  B  e.  _V )
5049ad2antrl 734 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
51 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  C_  c
)
52 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
53 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  U. c  =  U. c
5453, 17refbas 20525 . . . . . . . . 9  |-  ( c Ref A  ->  X  =  U. c )
5554adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  ->  X  =  U. c
)
5655ad2antll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
5752, 56eqtr3d 2487 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  Y  =  U. c )
5818, 53ssref 20527 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  B  C_  c  /\  Y  =  U. c )  ->  B Ref c )
5950, 51, 57, 58syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref c )
60 simprrr 775 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Ref A )
61 reftr 20529 . . . . 5  |-  ( ( B Ref c  /\  c Ref A )  ->  B Ref A )
6259, 60, 61syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B Ref A )
6362ex 436 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  B Ref A ) )
6463exlimdv 1779 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  B Ref A ) )
6547, 64impbid 194 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( B Ref A  <->  E. c
( B  C_  c  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   Refcref 20517   Fnecfne 30992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-topgen 15342  df-ref 20520  df-fne 30993
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