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Theorem refssfne 28734
Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1  |-  X  = 
U. A
refssfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
refssfne  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  <->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 28718 . . . . . . 7  |-  Rel  Ref
21brrelexi 4990 . . . . . 6  |-  ( A Ref B  ->  A  e.  _V )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A  e.  _V )
41brrelex2i 4991 . . . . . 6  |-  ( A Ref B  ->  B  e.  _V )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  B  e.  _V )
6 unexg 6494 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
8 ssun1 3630 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
10 eqimss2 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  Y  C_  X )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  Y  C_  X )
12 ssequn2 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  u.  Y )  =  X )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( X  u.  Y
)  =  X )
1413eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  X  =  ( X  u.  Y ) )
15 refssfne.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. A
16 refssfne.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. B
1715, 16uneq12i 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( X  u.  Y )  =  ( U. A  u.  U. B )
18 uniun 4221 . . . . . . . . 9  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
1917, 18eqtr4i 2486 . . . . . . . 8  |-  ( X  u.  Y )  = 
U. ( A  u.  B )
2015, 19fness 28722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  A  C_  ( A  u.  B )  /\  X  =  ( X  u.  Y ) )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
217, 9, 14, 20syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
22 elun 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
23 ssid 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  C_  x
24 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2524rspcev 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2623, 25mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
28 refssex 28721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A Ref B  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2928ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A Ref B  ->  (
x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3127, 30jaod 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
3222, 31syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3332ralrimiv 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y )
3415, 19isref 28719 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A Ref ( A  u.  B )  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
357, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( A Ref ( A  u.  B )  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x 
C_  y ) ) )
3614, 33, 35mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A Ref ( A  u.  B ) )
37 brin 4452 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B )  <->  ( A Fne ( A  u.  B
)  /\  A Ref ( A  u.  B
) ) )
3821, 36, 37sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) )
39 ssun2 3631 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4038, 39jctil 537 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) )
41 sseq2 3489 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( B  C_  c  <->  B  C_  ( A  u.  B )
) )
42 breq2 4407 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  <->  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) )
4341, 42anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  <->  ( B  C_  ( A  u.  B
)  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) ) )
4443spcegv 3164 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) ) )
457, 40, 44sylc 60 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) )
4645ex 434 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  ->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
47 brin 4452 . . . . . . 7  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  <->  ( A Fne c  /\  A Ref c ) )
4847simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  A Ref c )
4948ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Ref c
)
50 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
5150ssex 4547 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  c  ->  B  e.  _V )
5251ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  e.  _V )
53 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  C_  c
)
54 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  Y )
55 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  U. c  =  U. c
5615, 55refbas 28720 . . . . . . . . 9  |-  ( A Ref c  ->  X  =  U. c )
5748, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  X  =  U. c )
5857ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  U. c )
5954, 58eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  Y  =  U. c )
6016, 55ssref 28723 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  B  C_  c  /\  Y  =  U. c )  -> 
c Ref B )
6152, 53, 59, 60syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c Ref B
)
62 reftr 28729 . . . . 5  |-  ( ( A Ref c  /\  c Ref B )  ->  A Ref B )
6349, 61, 62syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Ref B
)
6463ex 434 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  ->  A Ref B ) )
6564exlimdv 1691 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c )  ->  A Ref B
) )
6646, 65impbid 191 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  <->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   Fnecfne 28699   Refcref 28700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-topgen 14504  df-fne 28703  df-ref 28704
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