Theorem refssex 15490

Description: Every set in a refinement has a superset in the original cover.

Assertion

Ref	Expression
refssex	|- ((B e. C /\ ARefB /\ S e. B) -> E.x e. A S C_ x)

Distinct variable groups:   x,A   x,S

Proof of Theorem refssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.A = U.A
2		eqid 1884	. . . . 5 |- U.B = U.B
3	1, 2	isref 15488	. . . 4 |- (B e. C -> (ARefB <-> (U.A = U.B /\ A.y e. B E.x e. A y C_ x)))
4	3	simplbda 465	. . 3 |- ((B e. C /\ ARefB) -> A.y e. B E.x e. A y C_ x)
5		sseq1 2637	. . . . 5 |- (y = S -> (y C_ x <-> S C_ x))
6	5	rexbidv 2124	. . . 4 |- (y = S -> (E.x e. A y C_ x <-> E.x e. A S C_ x))
7	6	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.y e. B E.x e. A y C_ x -> (S e. B -> E.x e. A S C_ x))
8	4, 7	syl 12	. 2 |- ((B e. C /\ ARefB) -> (S e. B -> E.x e. A S C_ x))
9	8	3impia 1064	1 |- ((B e. C /\ ARefB /\ S e. B) -> E.x e. A S C_ x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  Refcref 15458

This theorem is referenced by:  reftr 15497  refssfne 15504

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-ref 15464

Copyright terms: Public domain