Theorem refld 19164

Description: The real numbers form a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
refld	|- RRfld e. Field

Proof of Theorem refld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 19153	. . 3 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
2	1	simpri 463	. 2 |- RRfld e. DivRing
3		df-refld 19150	. . 3 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
4		cncrng 18967	. . . 4 |- ℂfld e. CRing
5	1	simpli 459	. . . 4 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
6		eqid 2420	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s RR ) = (ℂfld ↾s RR )
7	6	subrgcrng 17990	. . . 4 |- ( (ℂfld e. CRing /\ RR e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s RR ) e. CRing )
8	4, 5, 7	mp2an 676	. . 3 |- (ℂfld ↾s RR ) e. CRing
9	3, 8	eqeltri 2504	. 2 |- RRfld e. CRing
10		isfld 17962	. 2 |- (RRfld e. Field <-> (RRfld e. DivRing /\ RRfld e. CRing ) )
11	2, 9, 10	mpbir2an 928	1 |- RRfld e. Field

Syntax hints:   e. wcel 1867   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   RRcr 9534   ↾_s cress 15100   CRingccrg 17759   DivRingcdr 17953  Fieldcfield 17954  SubRingcsubrg 17982  ℂ_fldccnfld 18948  RRfldcrefld 19149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-addf 9614  ax-mulf 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670  df-9 10671  df-10 10672  df-n0 10866  df-z 10934  df-dec 11048  df-uz 11156  df-fz 11779  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-starv 15183  df-tset 15187  df-ple 15188  df-ds 15190  df-unif 15191  df-0g 15318  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-grp 16651  df-minusg 16652  df-subg 16792  df-cmn 17410  df-mgp 17702  df-ur 17714  df-ring 17760  df-cring 17761  df-oppr 17829  df-dvdsr 17847  df-unit 17848  df-invr 17878  df-dvr 17889  df-drng 17955  df-field 17956  df-subrg 17984  df-cnfld 18949  df-refld 19150

This theorem is referenced by:  recrng  19166  rrxbase  22324  rrxprds  22325  rrxip  22326  rrxcph  22328  reofld  28592  rearchi  28594