Theorem refld 19180

Description: The real numbers form a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
refld	|- RRfld e. Field

Proof of Theorem refld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 19169	. . 3 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
2	1	simpri 464	. 2 |- RRfld e. DivRing
3		df-refld 19166	. . 3 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
4		cncrng 18982	. . . 4 |- ℂfld e. CRing
5	1	simpli 460	. . . 4 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
6		eqid 2450	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s RR ) = (ℂfld ↾s RR )
7	6	subrgcrng 18005	. . . 4 |- ( (ℂfld e. CRing /\ RR e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s RR ) e. CRing )
8	4, 5, 7	mp2an 677	. . 3 |- (ℂfld ↾s RR ) e. CRing
9	3, 8	eqeltri 2524	. 2 |- RRfld e. CRing
10		isfld 17977	. 2 |- (RRfld e. Field <-> (RRfld e. DivRing /\ RRfld e. CRing ) )
11	2, 9, 10	mpbir2an 930	1 |- RRfld e. Field

Syntax hints:   e. wcel 1886   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   ↾_s cress 15115   CRingccrg 17774   DivRingcdr 17968  Fieldcfield 17969  SubRingcsubrg 17997  ℂ_fldccnfld 18963  RRfldcrefld 19165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-subg 16807  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-field 17971  df-subrg 17999  df-cnfld 18964  df-refld 19166

This theorem is referenced by:  recrng  19182  rrxbase  22340  rrxprds  22341  rrxip  22342  rrxcph  22344  reofld  28596  rearchi  28598