MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reflcl Structured version   Unicode version

Theorem reflcl 11914
Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
reflcl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem reflcl
StepHypRef Expression
1 flcl 11913 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21zred 10965 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ` cfv 5570   RRcr 9480   |_cfl 11908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fl 11910
This theorem is referenced by:  fllep1  11919  fraclt1  11920  fracle1  11921  fracge0  11922  fllt  11924  flflp1  11925  flid  11926  flval3  11932  refldivcl  11939  fladdz  11940  flzadd  11941  flmulnn0  11942  flltdivnn0lt  11947  ceige  11954  ceim1l  11956  flleceil  11962  fleqceilz  11963  intfracq  11968  fldiv  11969  uzsup  11972  modvalr  11981  modfrac  11992  flmod  11993  intfrac  11994  modmulnn  11996  modcyc  12014  modadd1  12016  moddi  12039  modirr  12042  digit2  12284  digit1  12285  facavg  12364  rddif  13258  absrdbnd  13259  rexuzre  13270  o1fsum  13712  flo1  13751  opnmbllem  22179  mbfi1fseqlem1  22291  mbfi1fseqlem3  22293  mbfi1fseqlem4  22294  mbfi1fseqlem5  22295  mbfi1fseqlem6  22296  dvfsumlem1  22596  dvfsumlem2  22597  dvfsumlem3  22598  dvfsumlem4  22599  dvfsum2  22604  harmonicbnd4  23541  chtfl  23624  chpfl  23625  ppieq0  23651  ppiltx  23652  ppiub  23680  chpeq0  23684  chtub  23688  logfac2  23693  chpub  23696  logfacubnd  23697  logfaclbnd  23698  lgsquadlem1  23830  chtppilimlem1  23859  vmadivsum  23868  dchrisumlema  23874  dchrisumlem1  23875  dchrisumlem3  23877  dchrmusum2  23880  dchrisum0lem1b  23901  dchrisum0lem1  23902  dchrisum0lem2a  23903  dchrisum0lem3  23905  mudivsum  23916  mulogsumlem  23917  selberglem2  23932  pntrlog2bndlem6  23969  pntpbnd2  23973  pntlemg  23984  pntlemr  23988  pntlemj  23989  pntlemf  23991  pntlemk  23992  minvecolem4  25997  ltflcei  30286  leceifl  30287  opnmbllem0  30293  itg2addnclem2  30310  itg2addnclem3  30311  isprm7  31436  hashnzfzclim  31471  lefldiveq  31725  flltnz  31740  fourierdlem4  32135  fourierdlem26  32157  fourierdlem47  32178  fourierdlem65  32196  flsubz  33403  dignn0flhalflem2  33510
  Copyright terms: Public domain W3C validator