MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reflcl Structured version   Unicode version

Theorem reflcl 11913
Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
reflcl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem reflcl
StepHypRef Expression
1 flcl 11912 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21zred 10978 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5594   RRcr 9503   |_cfl 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fl 11909
This theorem is referenced by:  fllep1  11918  fraclt1  11919  fracle1  11920  fracge0  11921  fllt  11923  flflp1  11924  flid  11925  flval3  11931  refldivcl  11937  fladdz  11938  flzadd  11939  flmulnn0  11940  flltdivnn0lt  11945  ceige  11952  ceim1l  11954  flleceil  11960  fleqceilz  11961  intfracq  11966  fldiv  11967  uzsup  11970  modvalr  11979  modcl  11980  mod0  11983  modge0  11985  modlt  11986  modfrac  11989  flmod  11990  intfrac  11991  modmulnn  11993  modcyc  12011  modadd1  12013  moddi  12034  modsubdir  12035  modirr  12037  digit2  12279  digit1  12280  facavg  12359  rddif  13153  absrdbnd  13154  rexuzre  13165  o1fsum  13607  flo1  13646  opnmbllem  21878  mbfi1fseqlem1  21990  mbfi1fseqlem3  21992  mbfi1fseqlem4  21993  mbfi1fseqlem5  21994  mbfi1fseqlem6  21995  dvfsumlem1  22295  dvfsumlem2  22296  dvfsumlem3  22297  dvfsumlem4  22298  dvfsum2  22303  harmonicbnd4  23206  chtfl  23289  chpfl  23290  ppieq0  23316  ppiltx  23317  ppiub  23345  chpeq0  23349  chtub  23353  logfac2  23358  chpub  23361  logfacubnd  23362  logfaclbnd  23363  lgsquadlem1  23495  chtppilimlem1  23524  vmadivsum  23533  dchrisumlema  23539  dchrisumlem1  23540  dchrisumlem3  23542  dchrmusum2  23545  dchrisum0lem1b  23566  dchrisum0lem1  23567  dchrisum0lem2a  23568  dchrisum0lem3  23570  mudivsum  23581  mulogsumlem  23582  selberglem2  23597  pntrlog2bndlem6  23634  pntpbnd2  23638  pntlemg  23649  pntlemr  23653  pntlemj  23654  pntlemf  23656  pntlemk  23657  minvecolem4  25619  ltflcei  29970  leceifl  29971  opnmbllem0  29977  itg2addnclem2  29994  itg2addnclem3  29995  isprm7  31119  hashnzfzclim  31151  lefldiveq  31382  flltnz  31398  fourierdlem4  31734  fourierdlem26  31756  fourierdlem47  31777  fourierdlem65  31795
  Copyright terms: Public domain W3C validator