Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reff Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reff 28666
Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a defintion of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 8918. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reff  |-  ( A  e.  V  ->  ( A Ref B  <->  ( U. B  C_  U. A  /\  E. f ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
v    B, f, v    f, V, v

Proof of Theorem reff
Dummy variables  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3451 . . . 4  |-  U. B  C_ 
U. B
2 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U. A  =  U. A
3 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U. B  =  U. B
42, 3isref 20524 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u ) ) )
54simprbda 629 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  ->  U. B  =  U. A )
61, 5syl5sseq 3480 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  ->  U. B  C_  U. A
)
74simplbda 630 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  ->  A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u )
8 sseq2 3454 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( f `  v )  ->  (
v  C_  u  <->  v  C_  ( f `  v
) ) )
98ac6sg 8918 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) ) )
109adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  -> 
( A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v 
C_  ( f `  v ) ) ) )
117, 10mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )
126, 11jca 535 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A Ref B )  -> 
( U. B  C_  U. A  /\  E. f
( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) ) )
13 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  ->  U. B  C_  U. A
)
14 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ v ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)
15 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ v  f : A --> B
16 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ v A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v )
1715, 16nfan 2011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ v ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
)
1814, 17nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ v ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )
19 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ v  x  e.  U. A
2018, 19nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ v ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )
21 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  f : A --> B )
22 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  (
f `  v )  e.  B )
2423adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  ->  ( f `  v )  e.  B
)
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  v )  ->  (
f `  v )  e.  B )
26 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) )
2726adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  ->  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  ->  v  e.  A )
29 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v )  /\  v  e.  A )  ->  v  C_  ( f `  v
) )
3027, 28, 29syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  ->  v  C_  ( f `  v
) )
3130sselda 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( f `  v
) )
32 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( f `  v )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( f `  v
) ) )
3332rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  v
)  e.  B  /\  x  e.  ( f `  v ) )  ->  E. u  e.  B  x  e.  u )
3425, 31, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  /\  x  e.  U. A )  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  v )  ->  E. u  e.  B  x  e.  u )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  x  e.  U. A )  ->  x  e.  U. A )
36 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  x  e.  v )
3735, 36sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  x  e.  U. A )  ->  E. v  e.  A  x  e.  v )
3820, 34, 37r19.29af 2930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  x  e.  U. A )  ->  E. u  e.  B  x  e.  u )
39 eluni2 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. u  e.  B  x  e.  u )
4038, 39sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  x  e.  U. A )  ->  x  e.  U. B )
4140ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  -> 
( x  e.  U. A  ->  x  e.  U. B ) )
4241ssrdv 3438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  ->  U. A  C_  U. B
)
4313, 42eqssd 3449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  ->  U. B  =  U. A )
4426, 22, 29syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  v  C_  ( f `  v
) )
458rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  v
)  e.  B  /\  v  C_  ( f `  v ) )  ->  E. u  e.  B  v  C_  u )
4623, 44, 45syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_ 
U. A )  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
) )  /\  v  e.  A )  ->  E. u  e.  B  v  C_  u )
4746ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  -> 
( v  e.  A  ->  E. u  e.  B  v  C_  u ) )
4818, 47ralrimi 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  ->  A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u )
494ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  -> 
( A Ref B  <->  ( U. B  =  U. A  /\  A. v  e.  A  E. u  e.  B  v  C_  u
) ) )
5043, 48, 49mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A
)  /\  ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) )  ->  A Ref B )
5150ex 436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v 
C_  ( f `  v ) )  ->  A Ref B ) )
5251exlimdv 1779 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. B  C_  U. A )  ->  ( E. f
( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  (
f `  v )
)  ->  A Ref B ) )
5352impr 625 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( U. B  C_  U. A  /\  E. f ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v 
C_  ( f `  v ) ) ) )  ->  A Ref B )
5412, 53impbida 843 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A Ref B  <->  ( U. B  C_  U. A  /\  E. f ( f : A --> B  /\  A. v  e.  A  v  C_  ( f `  v
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582   Refcref 20517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-en 7570  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547  df-ref 20520
This theorem is referenced by:  locfinreflem  28667
  Copyright terms: Public domain W3C validator