Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reff Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reff 28666
 Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a defintion of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 8918. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reff
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem reff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3451 . . . 4
2 eqid 2451 . . . . . 6
3 eqid 2451 . . . . . 6
42, 3isref 20524 . . . . 5
54simprbda 629 . . . 4
61, 5syl5sseq 3480 . . 3
74simplbda 630 . . . 4
8 sseq2 3454 . . . . . 6
98ac6sg 8918 . . . . 5
109adantr 467 . . . 4
117, 10mpd 15 . . 3
126, 11jca 535 . 2
13 simplr 762 . . . . . . 7
14 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13
15 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14
16 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16nfan 2011 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 17nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12
19 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19nfan 2011 . . . . . . . . . . 11
21 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14
2423adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
26 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
29 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 28, 29syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13
3130sselda 3432 . . . . . . . . . . . 12
32 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13
3332rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12
3425, 31, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
36 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 200 . . . . . . . . . . 11
3820, 34, 37r19.29af 2930 . . . . . . . . . 10
39 eluni2 4202 . . . . . . . . . 10
4038, 39sylibr 216 . . . . . . . . 9
4140ex 436 . . . . . . . 8
4241ssrdv 3438 . . . . . . 7
4313, 42eqssd 3449 . . . . . 6
4426, 22, 29syl2anc 667 . . . . . . . . 9
458rspcev 3150 . . . . . . . . 9
4623, 44, 45syl2anc 667 . . . . . . . 8
4746ex 436 . . . . . . 7
4818, 47ralrimi 2788 . . . . . 6
494ad2antrr 732 . . . . . 6
5043, 48, 49mpbir2and 933 . . . . 5
5150ex 436 . . . 4
5251exlimdv 1779 . . 3
5352impr 625 . 2
5412, 53impbida 843 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  cuni 4198   class class class wbr 4402  wf 5578  cfv 5582  cref 20517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-en 7570  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547  df-ref 20520 This theorem is referenced by:  locfinreflem  28667
 Copyright terms: Public domain W3C validator