MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexALT Structured version   Unicode version

Theorem reexALT 11258
Description: Alternate proof of reex 9612. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
reexALT  |-  RR  e.  _V

Proof of Theorem reexALT
Dummy variables  j 
k  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6284 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  /  k )  =  ( n  / 
k ) )
21breq1d 4404 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  /  k
)  <  x  <->  ( n  /  k )  < 
x ) )
32cbvrabv 3057 . . 3  |-  { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
x }  =  {
n  e.  ZZ  | 
( n  /  k
)  <  x }
4 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
m  /  j )  =  ( m  / 
k ) )
54breq1d 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( m  /  j
)  <  y  <->  ( m  /  k )  < 
y ) )
65rabbidv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  { m  e.  ZZ  |  ( m  /  j )  < 
y }  =  {
m  e.  ZZ  | 
( m  /  k
)  <  y }
)
76supeq1d 7938 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  / 
j )  <  y } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  / 
k )  <  y } ,  RR ,  <  ) )
8 id 22 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  j  =  k )
97, 8oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  j )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  j
)  =  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  k
) )
109cbvmptv 4486 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  j )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  j
) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  k
) )
11 breq2 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( m  /  k
)  <  y  <->  ( m  /  k )  < 
x ) )
1211rabbidv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
y }  =  {
m  e.  ZZ  | 
( m  /  k
)  <  x }
)
1312supeq1d 7938 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  / 
k )  <  y } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  / 
k )  <  x } ,  RR ,  <  ) )
1413oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  k
)  =  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
x } ,  RR ,  <  )  /  k
) )
1514mpteq2dv 4481 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  k
) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
x } ,  RR ,  <  )  /  k
) ) )
1610, 15syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  j )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  j
) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
x } ,  RR ,  <  )  /  k
) ) )
1716cbvmptv 4486 . . 3  |-  ( y  e.  RR  |->  ( j  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  j )  < 
y } ,  RR ,  <  )  /  j
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( { m  e.  ZZ  |  ( m  /  k )  < 
x } ,  RR ,  <  )  /  k
) ) )
183, 17rpnnen1 11257 . 2  |-  RR  ~<_  ( QQ 
^m  NN )
19 reldom 7559 . . 3  |-  Rel  ~<_
2019brrelexi 4863 . 2  |-  ( RR  ~<_  ( QQ  ^m  NN )  ->  RR  e.  _V )
2118, 20ax-mp 5 1  |-  RR  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456    ~<_ cdom 7551   supcsup 7933   RRcr 9520    < clt 9657    / cdiv 10246   NNcn 10575   ZZcz 10904   QQcq 11226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-q 11227
This theorem is referenced by:  cnexALT  11260
  Copyright terms: Public domain W3C validator