Theorem reeftlcl 8642

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftlex.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
reeftlcl	|- ((A e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F   k,M

Proof of Theorem reeftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 7362	. . 3 |- (M e. NN -> M e. ZZ)
2	1	adantl 424	. 2 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> M e. ZZ)
3		eftlex.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
4	3	eftval 8578	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
5	4	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
6		reeftcl 8636	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
7	5, 6	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (F` k) e. RR)
8		uztrn 7597	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ M e. (ZZ>=` 0)) -> k e. (ZZ>=` 0))
9		nnnn0 7315	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> M e. NN0)
10		elnn0uz 7610	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 <-> M e. (ZZ>=` 0))
11	9, 10	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> M e. (ZZ>=` 0))
12	8, 11	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ M e. NN) -> k e. (ZZ>=` 0))
13		elnn0uz 7610	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>=` 0))
14	12, 13	sylibr 217	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ M e. NN) -> k e. NN0)
15	14	ancoms 484	. . . . 5 |- ((M e. NN /\ k e. (ZZ>=` M)) -> k e. NN0)
16	7, 15	sylan2 500	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (M e. NN /\ k e. (ZZ>=` M))) -> (F` k) e. RR)
17	16	expr 418	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. RR))
18	17	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)
19	3	eftlex 8640	. . 3 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
20		recn 6466	. . 3 |- (A e. RR -> A e. CC)
21	19, 20	sylan 497	. 2 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
22		nn0ex 7314	. . . 4 |- NN0 e. _V
23	22, 3	fopabex2 4541	. . 3 |- F e. _V
24	23	isumrecl 8471	. 2 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)
25	2, 18, 21, 24	syl111anc 1100	1 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  absef01tllem 8649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain