Theorem reefgim 22031

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	|- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )

Assertion

Ref	Expression
reefgim	|- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 18147	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
2	1	simpli 458	. . . . 5 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
3		df-refld 18144	. . . . . 6 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
4	3	subrgbas 16980	. . . . 5 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR = ( Base ` RRfld ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- RR = ( Base ` RRfld )
6		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
7	6	rpmsubg 17985	. . . . 5 |- RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
8		reefgim.1	. . . . . . 7 |- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
9		cnex 9464	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
10		difexg 4538	. . . . . . . . 9 |- ( CC e. _V -> ( CC \ { 0 } ) e. _V )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
12		rpcn 11100	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
13		rpne0 11107	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
14		eldifsn 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
16	15	ssriv 3458	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 14338	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ ) )
18	11, 16, 17	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
19	8, 18	eqtr4i 2483	. . . . . 6 |- P = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ )
20	19	subgbas 15787	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> RR+ = ( Base ` P ) )
21	7, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- RR+ = ( Base ` P )
22		replusg 18149	. . . 4 |- + = ( +g ` RRfld )
23		eqid 2451	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
24		cnfldmul 17933	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
25	23, 24	mgpplusg 16700	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
26	8, 25	ressplusg 14382	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x. = ( +g ` P ) )
27	7, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- x. = ( +g ` P )
28	3	subrgrng 16974	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RRfld e. Ring )
29	2, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- RRfld e. Ring
30		rnggrp 16756	. . . . 5 |- (RRfld e. Ring -> RRfld e. Grp )
31	29, 30	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> RRfld e. Grp )
32	19	subggrp 15786	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> P e. Grp )
33	7, 32	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> P e. Grp )
34		reeff1o 22028	. . . . 5 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
35		f1of 5739	. . . . 5 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
36	34, 35	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
37		recn 9473	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. CC )
38		recn 9473	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
39		efadd 13481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
40	37, 38, 39	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
41		readdcl 9466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
42		fvres 5803	. . . . . . 7 |- ( ( x + y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
44		fvres 5803	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
45		fvres 5803	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
46	44, 45	oveqan12d 6209	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2502	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
48	47	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
49	5, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48	isghmd 15858	. . 3 |- ( T. -> ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) )
50	49	trud 1379	. 2 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P )
51	5, 21	isgim 15892	. 2 |- ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P ) <-> ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) /\ ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
52	50, 34, 51	mpbir2an 911	1 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3068   \ cdif 3423   C_ wss 3426   {csn 3975   |` cres 4940   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   + caddc 9386   x. cmul 9388   RR+crp 11092   expce 13449   Basecbs 14276   ↾_s cress 14277   +g cplusg 14340   Grpcgrp 15512  SubGrpcsubg 15777   GrpHom cghm 15846   GrpIso cgim 15887  mulGrpcmgp 16696   Ringcrg 16751   DivRingcdr 16938  SubRingcsubrg 16967  ℂ_fldccnfld 17927  RRfldcrefld 18143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-ghm 15847  df-gim 15889  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881  df-drng 16940  df-subrg 16969  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-refld 18144  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458

This theorem is referenced by:  reloggim  22163