MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Unicode version

Theorem reefgim 22574
Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
Assertion
Ref Expression
reefgim  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubdrg 18406 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
21simpli 458 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
3 df-refld 18403 . . . . . 6  |- RRfld  =  (flds  RR )
43subrgbas 17216 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  =  ( Base ` RRfld ) )
52, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
76rpmsubg 18244 . . . . 5  |-  RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
8 reefgim.1 . . . . . . 7  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
9 cnex 9564 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
10 difexg 4590 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
12 rpcn 11219 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
13 rpne0 11226 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
14 eldifsn 4147 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
1512, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1615ssriv 3503 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } )
17 ressabs 14544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  (
( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ ) )
1811, 16, 17mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
198, 18eqtr4i 2494 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  RR+ )
2019subgbas 15995 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  RR+  =  ( Base `  P ) )
217, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  RR+  =  ( Base `  P )
22 replusg 18408 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
23 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
24 cnfldmul 18192 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2523, 24mgpplusg 16930 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
268, 25ressplusg 14588 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x.  =  ( +g  `  P ) )
277, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  P )
283subrgrng 17210 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  -> RRfld  e.  Ring )
292, 28ax-mp 5 . . . . 5  |- RRfld  e.  Ring
30 rnggrp 16986 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Grp )
3129, 30mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
-> RRfld  e.  Grp )
3219subggrp 15994 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  P  e.  Grp )
337, 32mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  P  e.  Grp )
34 reeff1o 22571 . . . . 5  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
35 f1of 5809 . . . . 5  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
3634, 35mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
37 recn 9573 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
38 recn 9573 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
39 efadd 13682 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
4037, 38, 39syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
41 readdcl 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
42 fvres 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
44 fvres 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
45 fvres 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 y )  =  ( exp `  y
) )
4644, 45oveqan12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  y ) ) )
4740, 43, 463eqtr4d 2513 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
4847adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
495, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48isghmd 16066 . . 3  |-  ( T. 
->  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P ) )
5049trud 1383 . 2  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P )
515, 21isgim 16100 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )  <->  ( ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P )  /\  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
5250, 34, 51mpbir2an 913 1  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    =/= wne 2657   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4022    |` cres 4996   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR+crp 11211   expce 13650   Basecbs 14481   ↾s cress 14482   +g cplusg 14546   Grpcgrp 15718  SubGrpcsubg 15985    GrpHom cghm 16054   GrpIso cgim 16095  mulGrpcmgp 16926   Ringcrg 16981   DivRingcdr 17174  SubRingcsubrg 17203  ℂfldccnfld 18186  RRfldcrefld 18402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-refld 18403  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001
This theorem is referenced by:  reloggim  22706
  Copyright terms: Public domain W3C validator