Theorem reefgim 22970

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	|- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )

Assertion

Ref	Expression
reefgim	|- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 18768	. . . 4 |- RR = ( Base ` RRfld )
2		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
3	2	rpmsubg 18607	. . . . 5 |- RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
4		reefgim.1	. . . . . . 7 |- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
5		cnex 9590	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
6		difexg 4604	. . . . . . . . 9 |- ( CC e. _V -> ( CC \ { 0 } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
8		rpcn 11253	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
9		rpne0 11260	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
10		eldifsn 4157	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
12	11	ssriv 3503	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
13		ressabs 14709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ ) )
14	7, 12, 13	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
15	4, 14	eqtr4i 2489	. . . . . 6 |- P = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ )
16	15	subgbas 16331	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> RR+ = ( Base ` P ) )
17	3, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- RR+ = ( Base ` P )
18		replusg 18772	. . . 4 |- + = ( +g ` RRfld )
19		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
20		cnfldmul 18552	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
21	19, 20	mgpplusg 17271	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
22	4, 21	ressplusg 14757	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x. = ( +g ` P ) )
23	3, 22	ax-mp 5	. . . 4 |- x. = ( +g ` P )
24		resubdrg 18770	. . . . . . 7 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
25	24	simpli 458	. . . . . 6 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
26		df-refld 18767	. . . . . . 7 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
27	26	subrgring 17558	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RRfld e. Ring )
28	25, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- RRfld e. Ring
29		ringgrp 17329	. . . . 5 |- (RRfld e. Ring -> RRfld e. Grp )
30	28, 29	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> RRfld e. Grp )
31	15	subggrp 16330	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> P e. Grp )
32	3, 31	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> P e. Grp )
33		reeff1o 22967	. . . . 5 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
34		f1of 5822	. . . . 5 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
35	33, 34	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
36		recn 9599	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. CC )
37		recn 9599	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
38		efadd 13840	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
39	36, 37, 38	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
40		readdcl 9592	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
41		fvres 5886	. . . . . . 7 |- ( ( x + y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
43		fvres 5886	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
44		fvres 5886	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
45	43, 44	oveqan12d 6315	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
46	39, 42, 45	3eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
47	46	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
48	1, 17, 18, 23, 30, 32, 35, 47	isghmd 16402	. . 3 |- ( T. -> ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) )
49	48	trud 1404	. 2 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P )
50	1, 17	isgim 16436	. 2 |- ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P ) <-> ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) /\ ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
51	49, 33, 50	mpbir2an 920	1 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   =/= wne 2652   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4032   |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR+crp 11245   expce 13808   Basecbs 14643   ↾_s cress 14644   +g cplusg 14711   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321   GrpHom cghm 16390   GrpIso cgim 16431  mulGrpcmgp 17267   Ringcrg 17324   DivRingcdr 17522  SubRingcsubrg 17551  ℂ_fldccnfld 18546  RRfldcrefld 18766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-refld 18767  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396

This theorem is referenced by:  reloggim  23108