Theorem reefgim 21874

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	|- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )

Assertion

Ref	Expression
reefgim	|- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 17997	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
2	1	simpli 455	. . . . 5 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
3		df-refld 17994	. . . . . 6 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
4	3	subrgbas 16854	. . . . 5 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR = ( Base ` RRfld ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- RR = ( Base ` RRfld )
6		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
7	6	rpmsubg 17835	. . . . 5 |- RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
8		reefgim.1	. . . . . . 7 |- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
9		cnex 9359	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
10		difexg 4437	. . . . . . . . 9 |- ( CC e. _V -> ( CC \ { 0 } ) e. _V )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
12		rpcn 10995	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
13		rpne0 11002	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
14		eldifsn 3997	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 659	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
16	15	ssriv 3357	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 14232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ ) )
18	11, 16, 17	mp2an 667	. . . . . . 7 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
19	8, 18	eqtr4i 2464	. . . . . 6 |- P = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ )
20	19	subgbas 15678	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> RR+ = ( Base ` P ) )
21	7, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- RR+ = ( Base ` P )
22		replusg 17999	. . . 4 |- + = ( +g ` RRfld )
23		eqid 2441	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
24		cnfldmul 17783	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
25	23, 24	mgpplusg 16585	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
26	8, 25	ressplusg 14276	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x. = ( +g ` P ) )
27	7, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- x. = ( +g ` P )
28	3	subrgrng 16848	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RRfld e. Ring )
29	2, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- RRfld e. Ring
30		rnggrp 16640	. . . . 5 |- (RRfld e. Ring -> RRfld e. Grp )
31	29, 30	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> RRfld e. Grp )
32	19	subggrp 15677	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> P e. Grp )
33	7, 32	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> P e. Grp )
34		reeff1o 21871	. . . . 5 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
35		f1of 5638	. . . . 5 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
36	34, 35	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
37		recn 9368	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. CC )
38		recn 9368	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
39		efadd 13375	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
40	37, 38, 39	syl2an 474	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
41		readdcl 9361	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
42		fvres 5701	. . . . . . 7 |- ( ( x + y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
44		fvres 5701	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
45		fvres 5701	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
46	44, 45	oveqan12d 6109	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2483	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
48	47	adantl 463	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
49	5, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48	isghmd 15749	. . 3 |- ( T. -> ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) )
50	49	trud 1373	. 2 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P )
51	5, 21	isgim 15783	. 2 |- ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P ) <-> ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) /\ ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
52	50, 34, 51	mpbir2an 906	1 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 1761   =/= wne 2604   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   {csn 3874   |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   + caddc 9281   x. cmul 9283   RR+crp 10987   expce 13343   Basecbs 14170   ↾_s cress 14171   +g cplusg 14234   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668   GrpHom cghm 15737   GrpIso cgim 15778  mulGrpcmgp 16581   Ringcrg 16635   DivRingcdr 16812  SubRingcsubrg 16841  ℂ_fldccnfld 17777  RRfldcrefld 17993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-refld 17994  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301

This theorem is referenced by:  reloggim  22006