MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Unicode version

Theorem reefgim 21874
Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
Assertion
Ref Expression
reefgim  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubdrg 17997 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
21simpli 455 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
3 df-refld 17994 . . . . . 6  |- RRfld  =  (flds  RR )
43subrgbas 16854 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  =  ( Base ` RRfld ) )
52, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
76rpmsubg 17835 . . . . 5  |-  RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
8 reefgim.1 . . . . . . 7  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
9 cnex 9359 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
10 difexg 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
12 rpcn 10995 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
13 rpne0 11002 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
14 eldifsn 3997 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
1512, 13, 14sylanbrc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1615ssriv 3357 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } )
17 ressabs 14232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  (
( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ ) )
1811, 16, 17mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
198, 18eqtr4i 2464 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  RR+ )
2019subgbas 15678 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  RR+  =  ( Base `  P ) )
217, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  RR+  =  ( Base `  P )
22 replusg 17999 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
23 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
24 cnfldmul 17783 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2523, 24mgpplusg 16585 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
268, 25ressplusg 14276 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x.  =  ( +g  `  P ) )
277, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  P )
283subrgrng 16848 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  -> RRfld  e.  Ring )
292, 28ax-mp 5 . . . . 5  |- RRfld  e.  Ring
30 rnggrp 16640 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Grp )
3129, 30mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
-> RRfld  e.  Grp )
3219subggrp 15677 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  P  e.  Grp )
337, 32mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  P  e.  Grp )
34 reeff1o 21871 . . . . 5  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
35 f1of 5638 . . . . 5  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
3634, 35mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
37 recn 9368 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
38 recn 9368 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
39 efadd 13375 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
4037, 38, 39syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
41 readdcl 9361 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
42 fvres 5701 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
44 fvres 5701 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
45 fvres 5701 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 y )  =  ( exp `  y
) )
4644, 45oveqan12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  y ) ) )
4740, 43, 463eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
4847adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
495, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48isghmd 15749 . . 3  |-  ( T. 
->  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P ) )
5049trud 1373 . 2  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P )
515, 21isgim 15783 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )  <->  ( ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld  GrpHom  P )  /\  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
5250, 34, 51mpbir2an 906 1  |-  ( exp  |`  RR )  e.  (RRfld GrpIso  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   {csn 3874    |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR+crp 10987   expce 13343   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   +g cplusg 14234   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668    GrpHom cghm 15737   GrpIso cgim 15778  mulGrpcmgp 16581   Ringcrg 16635   DivRingcdr 16812  SubRingcsubrg 16841  ℂfldccnfld 17777  RRfldcrefld 17993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-refld 17994  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  reloggim  22006
  Copyright terms: Public domain W3C validator