Theorem reefgim 22574

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	|- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )

Assertion

Ref	Expression
reefgim	|- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 18406	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
2	1	simpli 458	. . . . 5 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
3		df-refld 18403	. . . . . 6 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
4	3	subrgbas 17216	. . . . 5 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR = ( Base ` RRfld ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- RR = ( Base ` RRfld )
6		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
7	6	rpmsubg 18244	. . . . 5 |- RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
8		reefgim.1	. . . . . . 7 |- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
9		cnex 9564	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
10		difexg 4590	. . . . . . . . 9 |- ( CC e. _V -> ( CC \ { 0 } ) e. _V )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
12		rpcn 11219	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
13		rpne0 11226	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
14		eldifsn 4147	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
16	15	ssriv 3503	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 14544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ ) )
18	11, 16, 17	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
19	8, 18	eqtr4i 2494	. . . . . 6 |- P = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ )
20	19	subgbas 15995	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> RR+ = ( Base ` P ) )
21	7, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- RR+ = ( Base ` P )
22		replusg 18408	. . . 4 |- + = ( +g ` RRfld )
23		eqid 2462	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
24		cnfldmul 18192	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
25	23, 24	mgpplusg 16930	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
26	8, 25	ressplusg 14588	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x. = ( +g ` P ) )
27	7, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- x. = ( +g ` P )
28	3	subrgrng 17210	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RRfld e. Ring )
29	2, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- RRfld e. Ring
30		rnggrp 16986	. . . . 5 |- (RRfld e. Ring -> RRfld e. Grp )
31	29, 30	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> RRfld e. Grp )
32	19	subggrp 15994	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> P e. Grp )
33	7, 32	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> P e. Grp )
34		reeff1o 22571	. . . . 5 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
35		f1of 5809	. . . . 5 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
36	34, 35	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
37		recn 9573	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. CC )
38		recn 9573	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
39		efadd 13682	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
40	37, 38, 39	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
41		readdcl 9566	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
42		fvres 5873	. . . . . . 7 |- ( ( x + y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
44		fvres 5873	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
45		fvres 5873	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
46	44, 45	oveqan12d 6296	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2513	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
48	47	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
49	5, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48	isghmd 16066	. . 3 |- ( T. -> ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) )
50	49	trud 1383	. 2 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P )
51	5, 21	isgim 16100	. 2 |- ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P ) <-> ( ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpHom P ) /\ ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
52	50, 34, 51	mpbir2an 913	1 |- ( exp |` RR ) e. (RRfld GrpIso P )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1374   T. wtru 1375   e. wcel 1762   =/= wne 2657   _Vcvv 3108   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4022   |` cres 4996   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   + caddc 9486   x. cmul 9488   RR+crp 11211   expce 13650   Basecbs 14481   ↾_s cress 14482   +g cplusg 14546   Grpcgrp 15718  SubGrpcsubg 15985   GrpHom cghm 16054   GrpIso cgim 16095  mulGrpcmgp 16926   Ringcrg 16981   DivRingcdr 17174  SubRingcsubrg 17203  ℂ_fldccnfld 18186  RRfldcrefld 18402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-refld 18403  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001

This theorem is referenced by:  reloggim  22706