Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Unicode version

Theorem reefgim 21874
 Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1 mulGrpflds
Assertion
Ref Expression
reefgim RRfld GrpIso

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubdrg 17997 . . . . . 6 SubRingfld RRfld
21simpli 455 . . . . 5 SubRingfld
3 df-refld 17994 . . . . . 6 RRfld flds
43subrgbas 16854 . . . . 5 SubRingfld RRfld
52, 4ax-mp 5 . . . 4 RRfld
6 eqid 2441 . . . . . 6 mulGrpflds mulGrpflds
76rpmsubg 17835 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
8 reefgim.1 . . . . . . 7 mulGrpflds
9 cnex 9359 . . . . . . . . 9
10 difexg 4437 . . . . . . . . 9
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8
12 rpcn 10995 . . . . . . . . . 10
13 rpne0 11002 . . . . . . . . . 10
14 eldifsn 3997 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylanbrc 659 . . . . . . . . 9
1615ssriv 3357 . . . . . . . 8
17 ressabs 14232 . . . . . . . 8 mulGrpflds s mulGrpflds
1811, 16, 17mp2an 667 . . . . . . 7 mulGrpflds s mulGrpflds
198, 18eqtr4i 2464 . . . . . 6 mulGrpflds s
2019subgbas 15678 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
217, 20ax-mp 5 . . . 4
22 replusg 17999 . . . 4 RRfld
23 eqid 2441 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
24 cnfldmul 17783 . . . . . . 7 fld
2523, 24mgpplusg 16585 . . . . . 6 mulGrpfld
268, 25ressplusg 14276 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
277, 26ax-mp 5 . . . 4
283subrgrng 16848 . . . . . 6 SubRingfld RRfld
292, 28ax-mp 5 . . . . 5 RRfld
30 rnggrp 16640 . . . . 5 RRfld RRfld
3129, 30mp1i 12 . . . 4 RRfld
3219subggrp 15677 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
337, 32mp1i 12 . . . 4
34 reeff1o 21871 . . . . 5
35 f1of 5638 . . . . 5
3634, 35mp1i 12 . . . 4
37 recn 9368 . . . . . . 7
38 recn 9368 . . . . . . 7
39 efadd 13375 . . . . . . 7
4037, 38, 39syl2an 474 . . . . . 6
41 readdcl 9361 . . . . . . 7
42 fvres 5701 . . . . . . 7
4341, 42syl 16 . . . . . 6
44 fvres 5701 . . . . . . 7
45 fvres 5701 . . . . . . 7
4644, 45oveqan12d 6109 . . . . . 6
4740, 43, 463eqtr4d 2483 . . . . 5
4847adantl 463 . . . 4
495, 21, 22, 27, 31, 33, 36, 48isghmd 15749 . . 3 RRfld
5049trud 1373 . 2 RRfld
515, 21isgim 15783 . 2 RRfld GrpIso RRfld
5250, 34, 51mpbir2an 906 1 RRfld GrpIso
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1364   wtru 1365   wcel 1761   wne 2604  cvv 2970   cdif 3322   wss 3325  csn 3874   cres 4838  wf 5411  wf1o 5414  cfv 5415  (class class class)co 6090  cc 9276  cr 9277  cc0 9278   caddc 9281   cmul 9283  crp 10987  ce 13343  cbs 14170   ↾s cress 14171   cplusg 14234  cgrp 15406  SubGrpcsubg 15668   cghm 15737   GrpIso cgim 15778  mulGrpcmgp 16581  crg 16635  cdr 16812  SubRingcsubrg 16841  ℂfldccnfld 17777  RRfldcrefld 17993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-refld 17994  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301 This theorem is referenced by:  reloggim  22006
 Copyright terms: Public domain W3C validator