Theorem reefgim 20319

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reefgim.1	|- R = (ℂfld ↾s RR )
reefgim.2	|- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )

Assertion

Ref	Expression
reefgim	|- ( exp |` RR ) e. ( R GrpIso P )

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 16705	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s RR ) e. DivRing )
2	1	simpli 445	. . . . 5 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
3		reefgim.1	. . . . . 6 |- R = (ℂfld ↾s RR )
4	3	subrgbas 15832	. . . . 5 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR = ( Base ` R ) )
5	2, 4	ax-mp 8	. . . 4 |- RR = ( Base ` R )
6		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
7	6	rpmsubg 16717	. . . . 5 |- RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
8		reefgim.2	. . . . . . 7 |- P = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
9		cnex 9027	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
10		difexg 4311	. . . . . . . . 9 |- ( CC e. _V -> ( CC \ { 0 } ) e. _V )
11	9, 10	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
12		rpcn 10576	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
13		rpne0 10583	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
14		eldifsn 3887	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 646	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
16	15	ssriv 3312	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
17		ressabs 13482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) e. _V /\ RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ ) )
18	11, 16, 17	mp2an 654	. . . . . . 7 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s RR+ )
19	8, 18	eqtr4i 2427	. . . . . 6 |- P = ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ↾s RR+ )
20	19	subgbas 14903	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> RR+ = ( Base ` P ) )
21	7, 20	ax-mp 8	. . . 4 |- RR+ = ( Base ` P )
22		cnfldadd 16663	. . . . . 6 |- + = ( +g ` ℂfld )
23	3, 22	ressplusg 13526	. . . . 5 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> + = ( +g ` R ) )
24	2, 23	ax-mp 8	. . . 4 |- + = ( +g ` R )
25		eqid 2404	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
26		cnfldmul 16664	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
27	25, 26	mgpplusg 15607	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28	8, 27	ressplusg 13526	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x. = ( +g ` P ) )
29	7, 28	ax-mp 8	. . . 4 |- x. = ( +g ` P )
30	3	subrgrng 15826	. . . . . 6 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> R e. Ring )
31	2, 30	ax-mp 8	. . . . 5 |- R e. Ring
32		rnggrp 15624	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
33	31, 32	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> R e. Grp )
34	19	subggrp 14902	. . . . 5 |- ( RR+ e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> P e. Grp )
35	7, 34	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> P e. Grp )
36		reeff1o 20316	. . . . 5 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
37		f1of 5633	. . . . 5 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
38	36, 37	mp1i 12	. . . 4 |- ( T. -> ( exp |` RR ) : RR --> RR+ )
39		recn 9036	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. CC )
40		recn 9036	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> y e. CC )
41		efadd 12651	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
42	39, 40, 41	syl2an 464	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( exp ` ( x + y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
43		readdcl 9029	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
44		fvres 5704	. . . . . . 7 |- ( ( x + y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( exp ` ( x + y ) ) )
46		fvres 5704	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
47		fvres 5704	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
48	46, 47	oveqan12d 6059	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` y ) ) )
49	42, 45, 48	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
50	49	adantl 453	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( x + y ) ) = ( ( ( exp |` RR ) ` x ) x. ( ( exp |` RR ) ` y ) ) )
51	5, 21, 24, 29, 33, 35, 38, 50	isghmd 14970	. . 3 |- ( T. -> ( exp |` RR ) e. ( R GrpHom P ) )
52	51	trud 1329	. 2 |- ( exp |` RR ) e. ( R GrpHom P )
53	5, 21	isgim 15004	. 2 |- ( ( exp |` RR ) e. ( R GrpIso P ) <-> ( ( exp |` RR ) e. ( R GrpHom P ) /\ ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
54	52, 36, 53	mpbir2an 887	1 |- ( exp |` RR ) e. ( R GrpIso P )

Syntax hints:   /\ wa 359   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR+crp 10568   expce 12619   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   GrpHom cghm 14958   GrpIso cgim 14999  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   DivRingcdr 15790  SubRingcsubrg 15819  ℂ_fldccnfld 16658

This theorem is referenced by:  reloggim  20446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707