Theorem reeff1olem1 7515

Description: Lemma for reeff1o 7517.

Hypotheses

Ref	Expression
reeff1olem1.1	|- U e. RR
reeff1olem1.2	|- 1 < U
reeff1olem1.3	|- S = {x e. (0[,]U) | (exp` x) = U}
reeff1olem1.4	|- C = sup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
reeff1olem1	|- E.y e. RR (exp` y) = U

Distinct variable groups:   y,C   x,U,y

Proof of Theorem reeff1olem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5505	. . . 4 |- 0 e. RR
2		reeff1olem1.1	. . . 4 |- U e. RR
3		lt01 5745	. . . . 5 |- 0 < 1
4		reeff1olem1.2	. . . . 5 |- 1 < U
5		1re 5500	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6	1, 5, 2	lttri 5650	. . . . 5 |- ((0 < 1 /\ 1 < U) -> 0 < U)
7	3, 4, 6	mp2an 709	. . . 4 |- 0 < U
8		elicc2 6417	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ U e. RR) -> (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U)))
9	1, 2, 8	mp2an 709	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
10	9	biimpi 158	. . . . . . 7 |- (x e. (0[,]U) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
11	10	3simp1d 806	. . . . . 6 |- (x e. (0[,]U) -> x e. RR)
12	11	ssriv 2120	. . . . 5 |- (0[,]U) (_ RR
13		axresscn 5333	. . . . 5 |- RR (_ CC
14	12, 13	sstri 2124	. . . 4 |- (0[,]U) (_ CC
15		ssid 2131	. . . 4 |- CC (_ CC
16		efcn 7514	. . . 4 |- exp e. (CC-cn->CC)
17		reefcl 7408	. . . . 5 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
18	11, 17	syl 10	. . . 4 |- (x e. (0[,]U) -> (exp` x) e. RR)
19		reeff1olem1.3	. . . 4 |- S = {x e. (0[,]U) | (exp` x) = U}
20		ef0 7425	. . . . . 6 |- (exp` 0) = 1
21	20, 4	eqbrtri 2689	. . . . 5 |- (exp` 0) < U
22	2	ltp1i 5871	. . . . . 6 |- U < (U + 1)
23		ax1cn 5334	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
24	2	recni 5379	. . . . . . . 8 |- U e. CC
25	23, 24	addcomi 5387	. . . . . . 7 |- (1 + U) = (U + 1)
26	1, 2, 7	ltleii 5646	. . . . . . . 8 |- 0 <_ U
27	2	efge1pi 7493	. . . . . . . 8 |- (0 <_ U -> (1 + U) <_ (exp` U))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 + U) <_ (exp` U)
29	25, 28	eqbrtrri 2691	. . . . . 6 |- (U + 1) <_ (exp` U)
30	2, 5	readdcli 5399	. . . . . . 7 |- (U + 1) e. RR
31	2	reefcli 7407	. . . . . . 7 |- (exp` U) e. RR
32	2, 30, 31	ltletri 5652	. . . . . 6 |- ((U < (U + 1) /\ (U + 1) <_ (exp` U)) -> U < (exp` U))
33	22, 29, 32	mp2an 709	. . . . 5 |- U < (exp` U)
34	21, 33	pm3.2i 292	. . . 4 |- ((exp` 0) < U /\ U < (exp` U))
35		reeff1olem1.4	. . . 4 |- C = sup(S, RR, < )
36	1, 2, 2, 7, 14, 15, 16, 18, 19, 34, 35	isupivthi 7380	. . 3 |- (C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U)
37		elioore 6411	. . . 4 |- (C e. (0(,)U) -> C e. RR)
38	37	anim1i 341	. . 3 |- ((C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U) -> (C e. RR /\ (exp` C) = U))
39	36, 38	ax-mp 7	. 2 |- (C e. RR /\ (exp` C) = U)
40		fveq2 3781	. . . 4 |- (y = C -> (exp` y) = (exp` C))
41	40	eqeq1d 1530	. . 3 |- (y = C -> ((exp` y) = U <-> (exp` C) = U))
42	41	rcla4ev 1924	. 2 |- ((C e. RR /\ (exp` C) = U) -> E.y e. RR (exp` y) = U)
43	39, 42	ax-mp 7	1 |- E.y e. RR (exp` y) = U

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  E.wrex 1693  {crab 1695   class class class wbr 2674  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  supcsup 4633  CCcc 5297  RRcr 5298  0cc0 5299  1c1 5300   + caddc 5302   <_ cle 5360   < clt 5551  (,)cioo 6382  [,]cicc 6385  expce 7383

This theorem is referenced by:  reeff1olem2 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-rp 6106  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-icc 6389  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-seq0 6623  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-fac 7022  df-bc 7047  df-clim 7065  df-sum 7070  df-cncf 7353  df-ef 7388

Copyright terms: Public domain