MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1 Structured version   Unicode version

Theorem reeff1 13425
Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+

Proof of Theorem reeff1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 13388 . . . . 5  |-  exp : CC
--> CC
2 ffn 5580 . . . . 5  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  exp  Fn  CC
4 ax-resscn 9360 . . . 4  |-  RR  C_  CC
5 fnssres 5545 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  RR  C_  CC )  -> 
( exp  |`  RR )  Fn  RR )
63, 4, 5mp2an 672 . . 3  |-  ( exp  |`  RR )  Fn  RR
7 fvres 5725 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
8 rpefcl 13409 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ )
97, 8eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  e.  RR+ )
109rgen 2802 . . 3  |-  A. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  e.  RR+
11 ffnfv 5890 . . 3  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR )  Fn  RR  /\ 
A. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `
 x )  e.  RR+ ) )
126, 10, 11mpbir2an 911 . 2  |-  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+
13 fvres 5725 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 y )  =  ( exp `  y
) )
147, 13eqeqan12d 2458 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  ( ( exp  |`  RR ) `  y )  <->  ( exp `  x )  =  ( exp `  y ) ) )
15 reef11 13424 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x
)  =  ( exp `  y )  <->  x  =  y ) )
1615biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x
)  =  ( exp `  y )  ->  x  =  y ) )
1714, 16sylbid 215 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  ( ( exp  |`  RR ) `  y )  ->  x  =  y ) )
1817rgen2a 2803 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 y )  ->  x  =  y )
19 dff13 5992 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ 
/\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
( ( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2012, 18, 19mpbir2an 911 1  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736    C_ wss 3349    |` cres 4863    Fn wfn 5434   -->wf 5435   -1-1->wf1 5436   ` cfv 5439   CCcc 9301   RRcr 9302   RR+crp 11012   expce 13368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-ico 11327  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374
This theorem is referenced by:  reeff1o  21934  seff  29621
  Copyright terms: Public domain W3C validator