MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefcld Structured version   Unicode version

Theorem reefcld 13355
Description: The exponential function is real if its argument is real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
reefcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
reefcld  |-  ( ph  ->  ( exp `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem reefcld
StepHypRef Expression
1 reefcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 reefcl 13354 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( exp `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   ` cfv 5406   RRcr 9268   expce 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-ico 11293  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335
This theorem is referenced by:  efgt0  13369  efgt1  13382  eflt  13383  resinhcl  13422  tanhlt1  13426  absef  13463  efieq1re  13465  reeff1olem  21795  divlogrlim  21964  logf1o2  21979  recxpcl  22004  cxpsqrlem  22031  abscxpbnd  22075  asinsinlem  22170  birthdaylem3  22231  o1cxp  22252  cxp2limlem  22253  logdifbnd  22271  harmonicbnd4  22288  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntibndlem3  22725  pntlemb  22730  xrge0iifcnv  26216
  Copyright terms: Public domain W3C validator