MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redwlklem Structured version   Unicode version

Theorem redwlklem 24812
Description: Lemma for redwlk 24813. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redwlklem  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )

Proof of Theorem redwlklem
StepHypRef Expression
1 2mwlk 24726 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
2 lencl 12552 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
3 wrdf 12541 . . . . . 6  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
4 ffn 5713 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
) )
5 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
6 fzossrbm1 11831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
87adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) ) )
98adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
10 fnssresb 5675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  <->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
1110adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  Fn  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) )  <-> 
( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) ) )
129, 11mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  Fn  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
13 hashfn 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( # `  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )
15 1nn0 10807 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
16 nn0sub2 10920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  -  1 )  e. 
NN0 )
1715, 16mp3an1 1309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  -  1 )  e. 
NN0 )
18 hashfzo0 12475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  ( (
# `  F )  -  1 ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2019adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2114, 20eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2221ex 432 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( (
( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
233, 4, 223syl 20 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
242, 23mpand 673 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( 1  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
2524adantr 463 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 1  <_ 
( # `  F )  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
261, 25syl 16 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( 1  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
2726imp 427 1  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   dom cdm 4988    |` cres 4990    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    <_ cle 9618    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   Walks cwalk 24703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-wlk 24713
This theorem is referenced by:  redwlk  24813
  Copyright terms: Public domain W3C validator