Theorem redivcli 6976

Description: Closure law for division of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	|- A e. RR
redivcl.2	|- B e. RR
redivcl.3	|- B =/= 0

Assertion

Ref	Expression
redivcli	|- (A / B) e. RR

Proof of Theorem redivcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl.1	. . . 4 |- A e. RR
2	1	recni 6467	. . 3 |- A e. CC
3		redivcl.2	. . . 4 |- B e. RR
4	3	recni 6467	. . 3 |- B e. CC
5		redivcl.3	. . 3 |- B =/= 0
6	2, 4, 5	divreci 6920	. 2 |- (A / B) = (A x. (1 / B))
7		axrrecex 6437	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> E.x e. RR (B x. x) = 1)
8	3, 5, 7	mp2an 761	. . . 4 |- E.x e. RR (B x. x) = 1
9		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.x e. RR (B x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (B x. x) = 1))
10		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> x e. CC)
11		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> ((1 / B) = x <-> (1 / B) = if(x e. CC, x, 1)))
12		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> (B x. x) = (B x. if(x e. CC, x, 1)))
13	12	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> ((B x. x) = 1 <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1))
14	11, 13	bibi12d 691	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> (((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1) <-> ((1 / B) = if(x e. CC, x, 1) <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1)))
15		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
16	15	elimel 3025	. . . . . . . . . . 11 |- if(x e. CC, x, 1) e. CC
17	15, 4, 16, 5	divmuli 6894	. . . . . . . . . 10 |- ((1 / B) = if(x e. CC, x, 1) <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1)
18	14, 17	dedth 3011	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> ((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1))
19	10, 18	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1))
20		eleq1a 1966	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((1 / B) = x -> (1 / B) e. RR))
21	19, 20	sylbird 222	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> ((B x. x) = 1 -> (1 / B) e. RR))
22	21	imp 377	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ (B x. x) = 1) -> (1 / B) e. RR)
23	22	19.23aiv 1674	. . . . 5 |- (E.x(x e. RR /\ (B x. x) = 1) -> (1 / B) e. RR)
24	9, 23	sylbi 216	. . . 4 |- (E.x e. RR (B x. x) = 1 -> (1 / B) e. RR)
25	8, 24	ax-mp 7	. . 3 |- (1 / B) e. RR
26	1, 25	remulcli 6488	. 2 |- (A x. (1 / B)) e. RR
27	6, 26	eqeltri 1967	1 |- (A / B) e. RR

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106  ifcif 2982  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447

This theorem is referenced by:  redivclzi 6977  rereccli 6979  posexi 7091  nneoi 7409  discrlem1 7906  nnesqi 7912  sqrlem8 7930  sqrlem9 7931  sqrlem10 7932  sqrlem11 7933  sqrlem16 7938  sqrlem20 7942  sqrlem21 7943  sqrlem22 7944  sqr2irrlem1 7974  sqr2irrlem4 7977  abs3lemi 8153  climunii 8358  expcnvlem4 8491  0.999... 8508  efcltlem1 8566  efaddlem8 8607  efaddlem12 8611  efaddlem15 8614  efaddlem18 8617  efaddlem19 8618  efaddlem20 8619  efaddlem22 8621  efaddlem23 8622  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  eirrlem3 8653  efcnlem1 8684  cos2bnd 8741  cos01gt0 8743  ruclem26 8804  sinhalfpilem 10028  sincosq1lem 10052  sincosq1sgn 10053  sincosq2sgn 10054  sincosq3sgn 10055  sincosq4sgn 10056  sincos4thpi 10060  sincos6thpi 10061  cosh111lem1 10068  norm3lem 10649  hlimuniii 10741  projlem6 10824  bfplem7 16004  pcoass 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892

Copyright terms: Public domain