Theorem redivcl 6978

Description: Closure law for division of reals.

Assertion

Ref	Expression
redivcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)

Proof of Theorem redivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A / B) = (if(A e. RR, A, 0) / B))
2	1	eleq1d 1963	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A / B) e. RR <-> (if(A e. RR, A, 0) / B) e. RR))
3	2	imbi2d 674	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((B =/= 0 -> (A / B) e. RR) <-> (B =/= 0 -> (if(A e. RR, A, 0) / B) e. RR)))
4		neeq1 2024	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (B =/= 0 <-> if(B e. RR, B, 0) =/= 0))
5		opreq2 4890	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) / B) = (if(A e. RR, A, 0) / if(B e. RR, B, 0)))
6	5	eleq1d 1963	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) / B) e. RR <-> (if(A e. RR, A, 0) / if(B e. RR, B, 0)) e. RR))
7	4, 6	imbi12d 688	. . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((B =/= 0 -> (if(A e. RR, A, 0) / B) e. RR) <-> (if(B e. RR, B, 0) =/= 0 -> (if(A e. RR, A, 0) / if(B e. RR, B, 0)) e. RR)))
8		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
9	8	elimel 3025	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
10	8	elimel 3025	. . . 4 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
11	9, 10	redivclzi 6977	. . 3 |- (if(B e. RR, B, 0) =/= 0 -> (if(A e. RR, A, 0) / if(B e. RR, B, 0)) e. RR)
12	3, 7, 11	dedth2h 3015	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (B =/= 0 -> (A / B) e. RR))
13	12	3impia 1064	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ifcif 2982  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   / cdiv 6447

This theorem is referenced by:  rereccl 6981  lediv1 7033  lediv1OLD 7034  lt2mul2div 7054  lt2mul2divOLD 7055  lemuldiv 7058  ledivdiv 7073  ltdiv23 7075  lediv23 7076  recp1lt1 7084  ledivp1 7088  nndivre 7135  rehalfcl 7220  rpdivcl 7249  rerpdivcl 7251  nnrecl 7281  qre 7439  quoremz 7492  quoremnn0ALT 7493  quoremnn0 7494  intfracq 7496  fldiv 7497  fldiv2 7498  modmulnn 7510  expnbnd 7901  climmullem1 8380  climmullem4 8383  cvgratlem5 8516  mulc1cncf 8541  efcltlem1 8566  reefcli 8579  efaddlem23 8622  efaddlem25 8624  reeftcl 8636  eftlubcl 8638  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  efcn 8688  resin4p 8701  recos4p 8702  sin01bndlem2 8734  sin01bndlem3 8735  cos01bndlem2 8736  cos01bndlem3 8737  sin01gt0 8742  cos01gt0 8743  ruclem13 8791  gxmodid 9402  sm1cnilem 9686  blocnilem 9804  blocni 9805  ubthlem12 9883  ubthlem12OLD 9884  ubthlem13 9885  ubthlem13OLD 9886  ubthlem14 9887  sineq0 10065  sineq0OLD 10066  occllem6 10811  projlem2 10820  projlem28 10846  nmophmi 11598  lnopconi 11600  lnfnconi 11627  divalgmod 13709  modgcd 13738  cntrsetlem 14999  msr3 15003  rrntotbndlem1 16020  rrntotbndlem2 16021  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892

Copyright terms: Public domain