MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rectbntr0 Structured version   Unicode version

Theorem rectbntr0 20511
Description: A countable subset of the reals has empty interior. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
rectbntr0  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  =  (/) )

Proof of Theorem rectbntr0
StepHypRef Expression
1 nnex 10415 . . . 4  |-  NN  e.  _V
21canth2 7550 . . 3  |-  NN  ~<  ~P NN
3 domnsym 7523 . . 3  |-  ( ~P NN  ~<_  NN  ->  -.  NN  ~<  ~P NN )
42, 3mt2 179 . 2  |-  -.  ~P NN 
~<_  NN
5 retop 20442 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
6 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  C_  RR )
7 uniretop 20443 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
87ntropn 18755 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
95, 6, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10 opnreen 20510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =/=  (/) )  ->  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~~  ~P NN )
1110ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )  =/=  (/)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  A
)  ~~  ~P NN ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =/=  (/)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  A
)  ~~  ~P NN ) )
13 reex 9460 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1413ssex 4520 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
157ntrss2 18763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  C_  A
)
165, 15mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  C_  A
)
17 ssdomg 7441 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  C_  A  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  A
)  ~<_  A ) )
1814, 16, 17sylc 60 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  ~<_  A )
19 domtr 7448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~<_  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )  ~<_  NN )
2018, 19sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  ~<_  NN )
21 ensym 7444 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~~  ~P NN  ->  ~P NN  ~~  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )
)
22 endomtr 7453 . . . . . 6  |-  ( ( ~P NN  ~~  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  /\  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~<_  NN )  ->  ~P NN  ~<_  NN )
2322expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~<_  NN  ->  ( ~P NN  ~~  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ->  ~P NN  ~<_  NN ) )
2420, 21, 23syl2im 38 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  ~~  ~P NN  ->  ~P NN 
~<_  NN ) )
2512, 24syld 44 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =/=  (/)  ->  ~P NN  ~<_  NN ) )
2625necon1bd 2663 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( -. 
~P NN  ~<_  NN  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  (/) ) )
274, 26mpi 17 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   class class class wbr 4376   ran crn 4925   ` cfv 5502    ~~ cen 7393    ~<_ cdom 7394    ~< csdm 7395   RRcr 9368   NNcn 10409   (,)cioo 11387   topGenctg 14464   Topctop 18600   intcnt 18723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ioo 11391  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-limsup 13037  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252  df-topgen 14470  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-ntr 18726
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator