MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recrec Structured version   Unicode version

Theorem recrec 10244
Description: A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. Theorem I.10 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recrec  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )

Proof of Theorem recrec
StepHypRef Expression
1 recid2 10225 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
2 1cnd 9612 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
1  e.  CC )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
4 reccl 10217 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
5 recne0 10223 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =/=  0 )
6 divmul 10213 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (
( 1  /  A
)  e.  CC  /\  ( 1  /  A
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
1  /  ( 1  /  A ) )  =  A  <->  ( (
1  /  A )  x.  A )  =  1 ) )
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1231 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 1  /  A
) )  =  A  <-> 
( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 ) )
81, 7mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636  (class class class)co 6278   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    / cdiv 10209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210
This theorem is referenced by:  recreci  10279  recrecd  10320  ltrec1  10435  lerec2  10436  resqrex  13060  logrec  23020  rlimcnp  23164  rlimcnp2  23165  recsec  32880  reccsc  32881
  Copyright terms: Public domain W3C validator