MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recoscl Structured version   Unicode version

Theorem recoscl 14162
Description: The cosine of a real number is real. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
recoscl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recoscl
StepHypRef Expression
1 recosval 14157 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
2 ax-icn 9587 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
3 recn 9618 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 mulcl 9612 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 14104 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
87recld 13225 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  e.  RR )
91, 8eqeltrd 2508 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   _ici 9530    x. cmul 9533   Recre 13128   expce 14081   cosccos 14084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-ico 11630  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-cos 14091
This theorem is referenced by:  retancl  14163  recoscld  14165  efieq  14184  sinbnd  14201  cosbnd  14202  cosbnd2  14204  cos2bnd  14209  sin02gt0  14213  sincos2sgn  14215  sin4lt0  14216  absefi  14217  sinq12gt0  23366  sincos6thpi  23374  cosord  23385  cos11  23386  sin2h  31683  cos2h  31684  tan2h  31685  abscosbd  37145  fourierdlem39  37625  reseccl  39291  recotcl  39293
  Copyright terms: Public domain W3C validator