Theorem reconnlem5 15450

Description: Lemma for reconn 15451.

Hypotheses

Ref	Expression
reconnlem5.1	|- (ph <-> ((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A))
reconnlem5.2	|- S = sup((u i^i (b[,]c)), RR, < )

Assertion

Ref	Expression
reconnlem5	|- (ph -> -. S e. v)

Proof of Theorem reconnlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem5.1	. . . . . . . . . . . 12 |- (ph <-> ((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A))
2	1	reconnlem2 15447	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> (b e. RR /\ c e. RR))
3		inss2 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- (u i^i (b[,]c)) C_ (b[,]c)
4	3	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> (u i^i (b[,]c)) C_ (b[,]c))
5		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u i^i A) C_ u
6	5	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (b e. (u i^i A) -> b e. u)
7	6	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) -> b e. u)
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) -> b e. u)
9	8	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> b e. u)
10		biid 187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) <-> ((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A))
11	10	reconnlem2 15447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> (b e. RR /\ c e. RR))
12		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> b <_ c)
13		lbicc2 7573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. RR /\ c e. RR /\ b <_ c) -> b e. (b[,]c))
14	13	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((b e. RR /\ c e. RR) /\ b <_ c) -> b e. (b[,]c))
15	11, 12, 14	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> b e. (b[,]c))
16	9, 15	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> (b e. u /\ b e. (b[,]c)))
17		elin 2786	. . . . . . . . . . . 12 |- (b e. (u i^i (b[,]c)) <-> (b e. u /\ b e. (b[,]c)))
18	16, 1, 17	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> b e. (u i^i (b[,]c)))
19		iccsupr 7567	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. RR /\ c e. RR) /\ (u i^i (b[,]c)) C_ (b[,]c) /\ b e. (u i^i (b[,]c))) -> ((u i^i (b[,]c)) C_ RR /\ (u i^i (b[,]c)) =/= (/) /\ E.m e. RR A.n e. (u i^i (b[,]c))n <_ m))
20	2, 4, 18, 19	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> ((u i^i (b[,]c)) C_ RR /\ (u i^i (b[,]c)) =/= (/) /\ E.m e. RR A.n e. (u i^i (b[,]c))n <_ m))
21	20	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((u i^i (b[,]c)) C_ RR /\ (u i^i (b[,]c)) =/= (/) /\ E.m e. RR A.n e. (u i^i (b[,]c))n <_ m))
22		resubcl 6601	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. RR /\ t e. RR) -> (S - t) e. RR)
23		iccssre 7565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((b e. RR /\ c e. RR) -> (b[,]c) C_ RR)
24	2, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (ph -> (b[,]c) C_ RR)
25		reconnlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = sup((u i^i (b[,]c)), RR, < )
26	1, 25	reconnlem3 15448	. . . . . . . . . . . 12 |- (ph -> S e. (b[,]c))
27	24, 26	sseldd 2620	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> S e. RR)
28	22, 27	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ t e. RR) -> (S - t) e. RR)
29	28	3adant3 896	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (S - t) e. RR)
30		ltsubpos 6841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. RR /\ S e. RR) -> (0 < t <-> (S - t) < S))
31	30	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. RR /\ t e. RR) -> (0 < t <-> (S - t) < S))
32	31, 27	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ t e. RR) -> (0 < t <-> (S - t) < S))
33	32	biimp3a 1194	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (S - t) < S)
34	33, 25	syl6breq 3376	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (S - t) < sup((u i^i (b[,]c)), RR, < ))
35		suprlub 7266	. . . . . . . . 9 |- ((((u i^i (b[,]c)) C_ RR /\ (u i^i (b[,]c)) =/= (/) /\ E.m e. RR A.n e. (u i^i (b[,]c))n <_ m) /\ ((S - t) e. RR /\ (S - t) < sup((u i^i (b[,]c)), RR, < ))) -> E.r e. (u i^i (b[,]c))(S - t) < r)
36	21, 29, 34, 35	syl12anc 1098	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> E.r e. (u i^i (b[,]c))(S - t) < r)
37	24	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (ph -> (r e. (b[,]c) -> r e. RR))
38	37	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (b[,]c) -> r e. RR))
39	3	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (r e. (u i^i (b[,]c)) -> r e. (b[,]c))
40	39	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> r e. (b[,]c))
41	38, 40	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> r e. RR))
42		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> (S - t) < r)
43	42	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> (S - t) < r))
44	37, 39	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (ph -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> r e. RR))
45		suprub 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((u i^i (b[,]c)) C_ RR /\ (u i^i (b[,]c)) =/= (/) /\ E.m e. RR A.n e. (u i^i (b[,]c))n <_ m) /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> r <_ sup((u i^i (b[,]c)), RR, < ))
46	45, 20	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> r <_ sup((u i^i (b[,]c)), RR, < ))
47	46, 25	syl6breqr 3377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> r <_ S)
48	47	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (ph -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> r <_ S))
49	44, 48	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (ph -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> (r e. RR /\ r <_ S)))
50	49	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> (r e. RR /\ r <_ S)))
51		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r e. RR -> r e. CC)
52		addid1 6463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r e. CC -> (r + 0) = r)
53	51, 52	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (r e. RR -> (r + 0) = r)
54	53	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (r e. RR -> r = (r + 0))
55	54	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> r = (r + 0))
56		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> r e. RR)
57		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
58	56, 57	jctir 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> (r e. RR /\ 0 e. RR))
59	27	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> S e. RR)
60	59	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> S e. RR)
61		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> t e. RR)
62	61	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> t e. RR)
63	58, 60, 62	jca32 312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> ((r e. RR /\ 0 e. RR) /\ (S e. RR /\ t e. RR)))
64		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> r <_ S)
65		simp3 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> 0 < t)
66	65	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> 0 < t)
67	64, 66	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> (r <_ S /\ 0 < t))
68		leltadd 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((r e. RR /\ 0 e. RR) /\ (S e. RR /\ t e. RR)) -> ((r <_ S /\ 0 < t) -> (r + 0) < (S + t)))
69	63, 67, 68	sylc 83	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> (r + 0) < (S + t))
70	55, 69	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. RR /\ r <_ S)) -> r < (S + t))
71	70	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. RR /\ r <_ S) -> r < (S + t)))
72	50, 71	syld 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> r < (S + t)))
73	72	adantrd 427	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> r < (S + t)))
74	41, 43, 73	3jcad 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> (r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t))))
75		difdisj 2945	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A i^i (RR \ A)) = (/)
76	1	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (ph -> (b[,]c) C_ A)
77	76	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (ph -> (r e. (b[,]c) -> r e. A))
78	77	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (b[,]c) -> r e. A))
79	78	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ r e. (b[,]c)) -> r e. A)
80	79, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> r e. A)
81	80	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> (r e. v -> r e. A))
82	81	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> (r e. v -> r e. A))
83		simp3 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) -> (u i^i v) C_ (RR \ A))
84	83	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) -> (u i^i v) C_ (RR \ A))
85	84	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> (u i^i v) C_ (RR \ A))
86	1, 85	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (ph -> (u i^i v) C_ (RR \ A))
87	86	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (ph -> (r e. (u i^i v) -> r e. (RR \ A)))
88	87	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (u i^i v) -> r e. (RR \ A)))
89		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (r e. (u i^i v) <-> (r e. u /\ r e. v))
90	88, 89	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. u /\ r e. v) -> r e. (RR \ A)))
91	90	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. u -> (r e. v -> r e. (RR \ A))))
92		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (u i^i (b[,]c)) C_ u
93	92	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r e. (u i^i (b[,]c)) -> r e. u)
94	91, 93	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (u i^i (b[,]c)) -> (r e. v -> r e. (RR \ A))))
95	94	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ r e. (u i^i (b[,]c))) -> (r e. v -> r e. (RR \ A)))
96	95	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> (r e. v -> r e. (RR \ A)))
97	82, 96	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> (r e. v -> (r e. A /\ r e. (RR \ A))))
98		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (r e. (A i^i (RR \ A)) <-> (r e. A /\ r e. (RR \ A)))
99	97, 98	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> (r e. v -> r e. (A i^i (RR \ A))))
100		n0i 2880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (r e. (A i^i (RR \ A)) -> -. (A i^i (RR \ A)) = (/))
101	99, 100	syl6 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> (r e. v -> -. (A i^i (RR \ A)) = (/)))
102	75, 101	mt2i 125	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) /\ (r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r)) -> -. r e. v)
103	102	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> -. r e. v))
104	74, 103	jcad 661	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> ((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v)))
105	104	eximdv 1669	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (E.r(r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r) -> E.r((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v)))
106		df-rex 2110	. . . . . . . . 9 |- (E.r e. (u i^i (b[,]c))(S - t) < r <-> E.r(r e. (u i^i (b[,]c)) /\ (S - t) < r))
107	105, 106	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (E.r e. (u i^i (b[,]c))(S - t) < r -> E.r((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v)))
108	36, 107	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> E.r((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v))
109		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
110	109	bl2ioo 9189	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. RR /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) = ((S - t)(,)(S + t)))
111	110, 27	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) = ((S - t)(,)(S + t)))
112	111	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) <-> r e. ((S - t)(,)(S + t))))
113		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S - t) e. RR -> (S - t) e. RR*)
114	28, 113	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ t e. RR) -> (S - t) e. RR*)
115		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S e. RR /\ t e. RR) -> (S + t) e. RR)
116	115, 27	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ t e. RR) -> (S + t) e. RR)
117		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S + t) e. RR -> (S + t) e. RR*)
118	116, 117	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ t e. RR) -> (S + t) e. RR*)
119		elioo2 7546	. . . . . . . . . . . 12 |- (((S - t) e. RR* /\ (S + t) e. RR*) -> (r e. ((S - t)(,)(S + t)) <-> (r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t))))
120	114, 118, 119	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ t e. RR) -> (r e. ((S - t)(,)(S + t)) <-> (r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t))))
121	120	3adant3 896	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. ((S - t)(,)(S + t)) <-> (r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t))))
122	112, 121	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) <-> (r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t))))
123	122	anbi1d 679	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> ((r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) /\ -. r e. v) <-> ((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v)))
124	123	exbidv 1657	. . . . . . 7 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> (E.r(r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) /\ -. r e. v) <-> E.r((r e. RR /\ (S - t) < r /\ r < (S + t)) /\ -. r e. v)))
125	108, 124	mpbird 213	. . . . . 6 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> E.r(r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) /\ -. r e. v))
126		nss 2670	. . . . . 6 |- (-. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v <-> E.r(r e. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) /\ -. r e. v))
127	125, 126	sylibr 217	. . . . 5 |- ((ph /\ t e. RR /\ 0 < t) -> -. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v)
128	127	3exp 1066	. . . 4 |- (ph -> (t e. RR -> (0 < t -> -. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v)))
129	128	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (ph -> A.t e. RR (0 < t -> -. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v))
130		ralinexa 2143	. . 3 |- (A.t e. RR (0 < t -> -. (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v) <-> -. E.t e. RR (0 < t /\ (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v))
131	129, 130	sylib 215	. 2 |- (ph -> -. E.t e. RR (0 < t /\ (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v))
132	109	remet 9188	. . . 4 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
133	132	a1i 8	. . 3 |- ((ph /\ S e. v) -> ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met)
134		simprrr 459	. . . . . 6 |- (((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) -> v e. (topGen` ran (,)))
135	134	ad2antrr 440	. . . . 5 |- (((((b e. (u i^i A) /\ c e. (v i^i A) /\ (u i^i v) C_ (RR \ A)) /\ (A C_ RR /\ (u e. (topGen` ran (,)) /\ v e. (topGen` ran (,))))) /\ b <_ c) /\ (b[,]c) C_ A) -> v e. (topGen` ran (,)))
136	1, 135	sylbi 216	. . . 4 |- (ph -> v e. (topGen` ran (,)))
137	136	adantr 425	. . 3 |- ((ph /\ S e. v) -> v e. (topGen` ran (,)))
138		simpr 350	. . 3 |- ((ph /\ S e. v) -> S e. v)
139		eqid 1884	. . . . 5 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
140	109, 139	tgioo 9193	. . . 4 |- (topGen` ran (,)) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
141	140	opni2 9142	. . 3 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ v e. (topGen` ran (,)) /\ S e. v) -> E.t e. RR (0 < t /\ (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v))
142	133, 137, 138, 141	syl111anc 1100	. 2 |- ((ph /\ S e. v) -> E.t e. RR (0 < t /\ (S( ball ` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))t) C_ v))
143	131, 142	mtand 520	1 |- (ph -> -. S e. v)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524  [,]cicc 7527  abscabs 8000  topGenctg 8860  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  reconn 15451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-icc 7531  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain