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Theorem reconnlem2 21832
Description: Lemma for reconn 21833. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
reconnlem2.2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.3  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
reconnlem2.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
reconnlem2.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
reconnlem2.7  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
reconnlem2.8  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
reconnlem2.9  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    C( x)    S( x, y)    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables  w  z  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
2 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  ( B [,] C )
3 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  i^i  A )  C_  A
4 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
53, 4sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
6 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  A
7 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
86, 7sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
9 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
10 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x [,] y )  =  ( B [,] y ) )
1110sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] y )  C_  A
) )
12 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  C  ->  ( B [,] y )  =  ( B [,] C
) )
1312sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  C  ->  (
( B [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] C )  C_  A
) )
1411, 13rspc2va 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  A  /\  C  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)  ->  ( B [,] C )  C_  A
)
155, 8, 9, 14syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  A )
16 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1715, 16sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
182, 17syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
19 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  A )  C_  U
2019, 4sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
2116, 5sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2316, 8sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2423rexrd 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
25 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
26 lbicc2 11749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
2722, 24, 25, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
2820, 27elind 3650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
29 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C
) )  =/=  (/) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
312sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  e.  ( B [,] C ) )
32 elicc2 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
3321, 23, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
34 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C )  ->  w  <_  C )
3533, 34syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  ->  w  <_  C
) )
3631, 35syl5 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  <_  C
) )
3736ralrimiv 2837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
38 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  C ) )
3938ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  C  ->  ( A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
4039rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
4123, 37, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
42 suprcl 10570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4318, 30, 41, 42syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
441, 43syl5eqel 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
45 rphalfcl 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
46 ltaddrp 11337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  / 
2 ) ) )
4744, 45, 46syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
4844adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
4945rpred 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
50 readdcl 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR )
5144, 49, 50syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  RR )
5248, 51ltnled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <->  -.  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  S ) )
5347, 52mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
5418ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
5530ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
5641ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
57 inss1 3682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  C_  U
58 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
5957, 58sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  U )
6051adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
6121ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  e.  RR )
6244ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  e.  RR )
63 suprub 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  B  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6418, 30, 41, 28, 63syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6564, 1syl6breqr 4461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  <_  S )
6665ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  S )
6747adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
6862, 60, 67ltled 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
6961, 62, 60, 66, 68letrd 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
7023ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  C  e.  RR )
71 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  C_  ( -oo (,) C )
7271, 58sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C ) )
73 eliooord 11695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C )  ->  ( -oo  <  ( S  +  ( r  /  2
) )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C ) )
7473simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7660, 70, 75ltled 9784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  C )
77 elicc2 11700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  ( B [,] C )  <-> 
( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  /\  ( S  +  (
r  /  2 ) )  <_  C )
) )
7861, 70, 77syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) )  /\  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  C ) ) )
7960, 69, 76, 78mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C ) )
8059, 79elind 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
81 suprub 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
8254, 55, 56, 80, 81syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
8382, 1syl6breqr 4461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
8453, 83mtand 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
85 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
8685remetdval 21794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
8751, 48, 86syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
8848recnd 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
8949adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
9089recnd 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  CC )
9188, 90pncan2d 9989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S )  =  ( r  /  2
) )
9291fveq2d 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  -  S
) )  =  ( abs `  ( r  /  2 ) ) )
9345adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
94 rpre 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
95 rpge0 11315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( r  /  2
) )
9694, 95absidd 13473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
9887, 92, 973eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( r  /  2 ) )
99 rphalflt 11330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
10099adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
10198, 100eqbrtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
)
10285rexmet 21796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR ) )
104 rpxr 11310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
105104adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
106 elbl3 21394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( S  e.  RR  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
) )
107103, 105, 48, 51, 106syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  <  r ) )
108101, 107mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r ) )
109 ssel 3458 . . . . . . . 8  |-  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) ) )
110108, 109syl5com 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) ) )
11184, 110mtod 180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
112111nrexdv 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
11344adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  RR )
114 mnflt 11426 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  RR  -> -oo  <  S )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  -> -oo  <  S )
116 suprleub 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
11718, 30, 41, 23, 116syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
11837, 117mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C )
1191, 118syl5eqbr 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  <_  C )
12044, 23leloed 9779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  <_  C  <->  ( S  <  C  \/  S  =  C )
) )
121119, 120mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  <  C  \/  S  =  C
) )
122121ord 378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  S  =  C ) )
123 elndif 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  A  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
1248, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
125 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  V
126125, 7sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
127 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( U  i^i  V )  <->  ( C  e.  U  /\  C  e.  V ) )
128 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
129128sseld 3463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( U  i^i  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A ) ) )
130127, 129syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  U  /\  C  e.  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A
) ) )
131126, 130mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  e.  U  ->  C  e.  ( RR 
\  A ) ) )
132124, 131mtod 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  U
)
133 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  C  ->  ( S  e.  U  <->  C  e.  U ) )
134133notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  C  ->  ( -.  S  e.  U  <->  -.  C  e.  U ) )
135132, 134syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  =  C  ->  -.  S  e.  U ) )
136122, 135syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  -.  S  e.  U ) )
137136con4d 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  <  C ) )
138137imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  <  C )
139 mnfxr 11415 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
140 elioo2 11678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
141139, 24, 140sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <-> 
( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C ) ) )
142141adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
143113, 115, 138, 142mpbir3and 1188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  ( -oo (,) C
) )
144143ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  e.  ( -oo (,) C ) ) )
145144ancld 555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C ) ) ) )
146 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  <->  ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C
) ) )
147 reconnlem2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
148 retop 21769 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
149 iooretop 21773 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
150 inopn 19916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
151148, 149, 150mp3an13 1351 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
152 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
15385, 152tgioo 21801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
154153mopni2 21495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
155102, 154mp3an1 1347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
156155ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
157147, 151, 1563syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
158146, 157syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
159145, 158syld 45 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
160112, 159mtod 180 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
161 ltsubrp 11336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( S  -  r
)  <  S )
16244, 161sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  < 
S )
163 rpre 11309 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
164 resubcl 9939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S  -  r
)  e.  RR )
16544, 163, 164syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
166165, 48ltnled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  -  r )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  r ) ) )
167162, 166mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  S  <_  ( S  -  r
) )
16885bl2ioo 21797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
16944, 163, 168syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S
( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) ) )
170169sseq1d 3491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  <->  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  C_  V
) )
17115ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( B [,] C
)  C_  A )
1722, 171syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  A )
173172sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  A
)
174 elndif 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
176128ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  V )  C_  ( RR  \  A ) )
177 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  U
178 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
179177, 178sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  U )
180 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )
18118ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
182 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
183181, 182sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  RR )
184183adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  RR )
185 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  <  w )
18648ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  e.  RR )
187 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR+ )
188187rpred 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR )
189186, 188readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  +  r )  e.  RR )
190181adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
19130ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
19241ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
193 suprub 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
194190, 191, 192, 178, 193syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
195194, 1syl6breqr 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  S )
196186, 187ltaddrpd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  <  ( S  +  r ) )
197184, 186, 189, 195, 196lelttrd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <  ( S  +  r ) )
198165ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
199 rexr 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  -  r )  e.  RR  ->  ( S  -  r )  e.  RR* )
200 rexr 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  +  r )  e.  RR  ->  ( S  +  r )  e.  RR* )
201 elioo2 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR*  /\  ( S  +  r )  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
202199, 200, 201syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR  /\  ( S  +  r
)  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
203198, 189, 202syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
204184, 185, 197, 203mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
205180, 204sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  V )
206179, 205elind 3650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  V
) )
207176, 206sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( RR  \  A
) )
208207expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( ( S  -  r )  < 
w  ->  w  e.  ( RR  \  A ) ) )
209175, 208mtod 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  ( S  -  r )  < 
w )
210165ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
211183, 210lenltd 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( w  <_ 
( S  -  r
)  <->  -.  ( S  -  r )  < 
w ) )
212209, 211mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  ( S  -  r )
)
213212ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) )
21418ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
21530ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
21641ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
217165adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( S  -  r
)  e.  RR )
218 suprleub 10574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  -  r
)  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
219214, 215, 216, 217, 218syl31anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
220213, 219mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r ) )
2211, 220syl5eqbr 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  S  <_  ( S  -  r ) )
222221ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r
) ) )
223170, 222sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r ) ) )
224167, 223mtod 180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
225224nrexdv 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
226 reconnlem2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
227153mopni2 21495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  V
)  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
228102, 227mp3an1 1347 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  S  e.  V )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
229228ex 435 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
230226, 229syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
231225, 230mtod 180 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  V
)
232 ioran 492 . . . 4  |-  ( -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V
)  <->  ( -.  S  e.  U  /\  -.  S  e.  V ) )
233160, 231, 232sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
234 elun 3606 . . 3  |-  ( S  e.  ( U  u.  V )  <->  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
235233, 234sylnibr 306 . 2  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  ( U  u.  V ) )
236 elicc2 11700 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
23721, 23, 236syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
23844, 65, 119, 237mpbir3and 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( B [,] C ) )
23915, 238sseldd 3465 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
240 ssel 3458 . . 3  |-  ( A 
C_  ( U  u.  V )  ->  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
241239, 240syl5com 31 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( U  u.  V )  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
242235, 241mtod 180 1  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    X. cxp 4848   ran crn 4851    |` cres 4852    o. ccom 4854   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   supcsup 7957   RRcr 9539    + caddc 9543   -oocmnf 9674   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   2c2 10660   RR+crp 11303   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639   abscabs 13286   topGenctg 15324   *Metcxmt 18943   ballcbl 18945   MetOpencmopn 18948   Topctop 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-icc 11643  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910
This theorem is referenced by:  reconn  21833
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