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Theorem reconnlem2 21923
 Description: Lemma for reconn 21924. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1
reconnlem2.2
reconnlem2.3
reconnlem2.4
reconnlem2.5
reconnlem2.6
reconnlem2.7
reconnlem2.8
reconnlem2.9
Assertion
Ref Expression
reconnlem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11
2 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . 13
3 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53, 4sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
6 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86, 7sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1411, 13rspc2va 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15
155, 8, 9, 14syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14
16 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13
182, 17syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . 12
19 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019, 4sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
2116, 5sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
2316, 8sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . 15
2722, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
2820, 27elind 3609 . . . . . . . . . . . . 13
29 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12
312sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3321, 23, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15
3631, 35syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14
3736ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . 13
38 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14
4039rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13
4123, 37, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
42 suprcl 10591 . . . . . . . . . . . 12
4318, 30, 41, 42syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
441, 43syl5eqel 2553 . . . . . . . . . 10
45 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . 10
46 ltaddrp 11359 . . . . . . . . . 10
4744, 45, 46syl2an 485 . . . . . . . . 9
4844adantr 472 . . . . . . . . . 10
4945rpred 11364 . . . . . . . . . . 11
50 readdcl 9640 . . . . . . . . . . 11
5144, 49, 50syl2an 485 . . . . . . . . . 10
5248, 51ltnled 9799 . . . . . . . . 9
5347, 52mpbid 215 . . . . . . . 8
5418ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
5530ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
5641ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
57 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12
58 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
6051adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
6121ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
6244ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
63 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6418, 30, 41, 28, 63syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . 14
6665ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
6747adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6862, 60, 67ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13
6961, 62, 60, 66, 68letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12
7023ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
71 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271, 58sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
73 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
7660, 70, 75ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12
77 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . 13
7861, 70, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
7960, 69, 76, 78mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . 11
8059, 79elind 3609 . . . . . . . . . 10
81 suprub 10592 . . . . . . . . . 10
8254, 55, 56, 80, 81syl31anc 1295 . . . . . . . . 9
8382, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . 8
8453, 83mtand 671 . . . . . . 7
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
8685remetdval 21885 . . . . . . . . . . . 12
8751, 48, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
8848recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
8949adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
9089recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 90pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . 12
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
9345adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
94 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . 13
95 rpge0 11337 . . . . . . . . . . . . 13
9694, 95absidd 13561 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11
9887, 92, 973eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
99 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . 11
10099adantl 473 . . . . . . . . . 10
10198, 100eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
10285rexmet 21887 . . . . . . . . . . 11
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10
104 rpxr 11332 . . . . . . . . . . 11
105104adantl 473 . . . . . . . . . 10
106 elbl3 21485 . . . . . . . . . 10
107103, 105, 48, 51, 106syl22anc 1293 . . . . . . . . 9
108101, 107mpbird 240 . . . . . . . 8
109 ssel 3412 . . . . . . . 8
110108, 109syl5com 30 . . . . . . 7
11184, 110mtod 182 . . . . . 6
112111nrexdv 2842 . . . . 5
11344adantr 472 . . . . . . . . 9
114 mnflt 11448 . . . . . . . . . 10
115113, 114syl 17 . . . . . . . . 9
116 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11718, 30, 41, 23, 116syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11837, 117mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
1191, 118syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . . . 14
12044, 23leloed 9795 . . . . . . . . . . . . . 14
121119, 120mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
122121ord 384 . . . . . . . . . . . 12
123 elndif 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15
1248, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
125 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125, 7sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130127, 129syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . 15
131126, 130mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . 14
132124, 131mtod 182 . . . . . . . . . . . . 13
133 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
134133notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13
135132, 134syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12
136122, 135syld 44 . . . . . . . . . . 11
137136con4d 108 . . . . . . . . . 10
138137imp 436 . . . . . . . . 9
139 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . 11
140 elioo2 11702 . . . . . . . . . . 11
141139, 24, 140sylancr 676 . . . . . . . . . 10
142141adantr 472 . . . . . . . . 9
143113, 115, 138, 142mpbir3and 1213 . . . . . . . 8
144143ex 441 . . . . . . 7
145144ancld 562 . . . . . 6
146 elin 3608 . . . . . . 7
147 reconnlem2.2 . . . . . . . 8
148 retop 21860 . . . . . . . . 9
149 iooretop 21864 . . . . . . . . 9
150 inopn 20006 . . . . . . . . 9
151148, 149, 150mp3an13 1381 . . . . . . . 8
152 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
15385, 152tgioo 21892 . . . . . . . . . . 11
154153mopni2 21586 . . . . . . . . . 10
155102, 154mp3an1 1377 . . . . . . . . 9
156155ex 441 . . . . . . . 8
157147, 151, 1563syl 18 . . . . . . 7
158146, 157syl5bir 226 . . . . . 6
159145, 158syld 44 . . . . 5
160112, 159mtod 182 . . . 4
161 ltsubrp 11358 . . . . . . . . 9
16244, 161sylan 479 . . . . . . . 8
163 rpre 11331 . . . . . . . . . 10
164 resubcl 9958 . . . . . . . . . 10
16544, 163, 164syl2an 485 . . . . . . . . 9
166165, 48ltnled 9799 . . . . . . . 8
167162, 166mpbid 215 . . . . . . 7
16885bl2ioo 21888 . . . . . . . . . 10
16944, 163, 168syl2an 485 . . . . . . . . 9
170169sseq1d 3445 . . . . . . . 8
17115ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1722, 171syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173172sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
174 elndif 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
176128ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179177, 178sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18118ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
182 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
183181, 182sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
184183adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
185 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18648ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
187 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
188187rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
189186, 188readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
190181adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19130ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19241ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
193 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
194190, 191, 192, 178, 193syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
195194, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196186, 187ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
197184, 186, 189, 195, 196lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
198165ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
201 elioo2 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
202199, 200, 201syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
203198, 189, 202syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
204184, 185, 197, 203mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205180, 204sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206179, 205elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
207176, 206sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
208207expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14
209175, 208mtod 182 . . . . . . . . . . . . 13
210165ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
211183, 210lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . 13
212209, 211mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12
213212ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11
21418ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
21530ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
21641ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
217165adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
218 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . 12
219214, 215, 216, 217, 218syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11
220213, 219mpbird 240 . . . . . . . . . 10
2211, 220syl5eqbr 4429 . . . . . . . . 9
222221ex 441 . . . . . . . 8
223170, 222sylbid 223 . . . . . . 7
224167, 223mtod 182 . . . . . 6
225224nrexdv 2842 . . . . 5
226 reconnlem2.3 . . . . . 6
227153mopni2 21586 . . . . . . . 8
228102, 227mp3an1 1377 . . . . . . 7
229228ex 441 . . . . . 6
230226, 229syl 17 . . . . 5
231225, 230mtod 182 . . . 4
232 ioran 498 . . . 4
233160, 231, 232sylanbrc 677 . . 3
234 elun 3565 . . 3
235233, 234sylnibr 312 . 2
236 elicc2 11724 . . . . . 6
23721, 23, 236syl2anc 673 . . . . 5
23844, 65, 119, 237mpbir3and 1213 . . . 4
23915, 238sseldd 3419 . . 3
240 ssel 3412 . . 3
241239, 240syl5com 30 . 2
242235, 241mtod 182 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cxp 4837   crn 4840   cres 4841   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556   caddc 9560   cmnf 9691  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cioo 11660  cicc 11663  cabs 13374  ctg 15414  cxmt 19032  cbl 19034  cmopn 19037  ctop 19994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000 This theorem is referenced by:  reconn  21924
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