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Theorem reconnlem2 21458
Description: Lemma for reconn 21459. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
reconnlem2.2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.3  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
reconnlem2.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
reconnlem2.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
reconnlem2.7  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
reconnlem2.8  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
reconnlem2.9  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    C( x)    S( x, y)    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables  w  z  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
2 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  ( B [,] C )
3 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  i^i  A )  C_  A
4 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
53, 4sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
6 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  A
7 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
86, 7sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
9 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
10 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x [,] y )  =  ( B [,] y ) )
1110sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] y )  C_  A
) )
12 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  C  ->  ( B [,] y )  =  ( B [,] C
) )
1312sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  C  ->  (
( B [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] C )  C_  A
) )
1411, 13rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  A  /\  C  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)  ->  ( B [,] C )  C_  A
)
155, 8, 9, 14syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  A )
16 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1715, 16sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
182, 17syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
19 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  A )  C_  U
2019, 4sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
2116, 5sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2316, 8sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2423rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
25 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
26 lbicc2 11661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
2722, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
2820, 27elind 3684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
29 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C
) )  =/=  (/) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
312sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  e.  ( B [,] C ) )
32 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
3321, 23, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
34 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C )  ->  w  <_  C )
3533, 34syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  ->  w  <_  C
) )
3631, 35syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  <_  C
) )
3736ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
38 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  C ) )
3938ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  C  ->  ( A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
4039rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
4123, 37, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
42 suprcl 10523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4318, 30, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
441, 43syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
45 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
46 ltaddrp 11277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  / 
2 ) ) )
4744, 45, 46syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
4844adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
4945rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
50 readdcl 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR )
5144, 49, 50syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  RR )
5248, 51ltnled 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <->  -.  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  S ) )
5347, 52mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
5418ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
5530ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
5641ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
57 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  C_  U
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
5957, 58sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  U )
6051adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
6121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  e.  RR )
6244ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  e.  RR )
63 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  B  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6418, 30, 41, 28, 63syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6564, 1syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  <_  S )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  S )
6747adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
6862, 60, 67ltled 9750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  S  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
6961, 62, 60, 66, 68letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
7023ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  C  e.  RR )
71 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  C_  ( -oo (,) C )
7271, 58sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C ) )
73 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C )  ->  ( -oo  <  ( S  +  ( r  /  2
) )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C ) )
7473simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( -oo (,) C )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7660, 70, 75ltled 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  C )
77 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  ( B [,] C )  <-> 
( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  /\  ( S  +  (
r  /  2 ) )  <_  C )
) )
7861, 70, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) )  /\  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  C ) ) )
7960, 69, 76, 78mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C ) )
8059, 79elind 3684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
81 suprub 10524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
8254, 55, 56, 80, 81syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
8382, 1syl6breqr 4496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
8453, 83mtand 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
85 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
8685remetdval 21420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
8751, 48, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
8848recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
8949adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
9089recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  CC )
9188, 90pncan2d 9952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S )  =  ( r  /  2
) )
9291fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  -  S
) )  =  ( abs `  ( r  /  2 ) ) )
9345adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
94 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
95 rpge0 11257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( r  /  2
) )
9694, 95absidd 13266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
9793, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
9887, 92, 973eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( r  /  2 ) )
99 rphalflt 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
10099adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
10198, 100eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
)
10285rexmet 21422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR ) )
104 rpxr 11252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
105104adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
106 elbl3 21021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( S  e.  RR  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
) )
107103, 105, 48, 51, 106syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  <  r ) )
108101, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r ) )
109 ssel 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) ) )
110108, 109syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) ) )
11184, 110mtod 177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
112111nrexdv 2913 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )
11344adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  RR )
114 mnflt 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  RR  -> -oo  <  S )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  -> -oo  <  S )
116 suprleub 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
11718, 30, 41, 23, 116syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
11837, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C )
1191, 118syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  <_  C )
12044, 23leloed 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  <_  C  <->  ( S  <  C  \/  S  =  C )
) )
121119, 120mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  <  C  \/  S  =  C
) )
122121ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  S  =  C ) )
123 elndif 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  A  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
1248, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
125 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  V
126125, 7sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
127 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( U  i^i  V )  <->  ( C  e.  U  /\  C  e.  V ) )
128 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
129128sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( U  i^i  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A ) ) )
130127, 129syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  U  /\  C  e.  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A
) ) )
131126, 130mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  e.  U  ->  C  e.  ( RR 
\  A ) ) )
132124, 131mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  U
)
133 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  C  ->  ( S  e.  U  <->  C  e.  U ) )
134133notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  C  ->  ( -.  S  e.  U  <->  -.  C  e.  U ) )
135132, 134syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  =  C  ->  -.  S  e.  U ) )
136122, 135syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  -.  S  e.  U ) )
137136con4d 105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  <  C ) )
138137imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  <  C )
139 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
140 elioo2 11595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
141139, 24, 140sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <-> 
( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C ) ) )
142141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  ( S  e.  ( -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\ -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
143113, 115, 138, 142mpbir3and 1179 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  ( -oo (,) C
) )
144143ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  e.  ( -oo (,) C ) ) )
145144ancld 553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C ) ) ) )
146 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  <->  ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C
) ) )
147 reconnlem2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
148 retop 21394 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
149 iooretop 21399 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
150 inopn 19535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
151148, 149, 150mp3an13 1315 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
152 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
15385, 152tgioo 21427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
154153mopni2 21122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
155102, 154mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) )
156155ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
157147, 151, 1563syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U  i^i  ( -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
158146, 157syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  e.  U  /\  S  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
159145, 158syld 44 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  ( -oo (,) C
) ) ) )
160112, 159mtod 177 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
161 ltsubrp 11276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( S  -  r
)  <  S )
16244, 161sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  < 
S )
163 rpre 11251 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
164 resubcl 9902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S  -  r
)  e.  RR )
16544, 163, 164syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
166165, 48ltnled 9749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  -  r )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  r ) ) )
167162, 166mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  S  <_  ( S  -  r
) )
16885bl2ioo 21423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
16944, 163, 168syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S
( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) ) )
170169sseq1d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  <->  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  C_  V
) )
17115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( B [,] C
)  C_  A )
1722, 171syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  A )
173172sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  A
)
174 elndif 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
176128ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  V )  C_  ( RR  \  A ) )
177 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  U
178 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
179177, 178sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  U )
180 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )
18118ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
182 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
183181, 182sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  RR )
184183adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  RR )
185 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  <  w )
18648ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  e.  RR )
187 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR+ )
188187rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR )
189186, 188readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  +  r )  e.  RR )
190181adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
19130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
19241ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
193 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
194190, 191, 192, 178, 193syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
195194, 1syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  S )
196186, 187ltaddrpd 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  <  ( S  +  r ) )
197184, 186, 189, 195, 196lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <  ( S  +  r ) )
198165ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
199 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  -  r )  e.  RR  ->  ( S  -  r )  e.  RR* )
200 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  +  r )  e.  RR  ->  ( S  +  r )  e.  RR* )
201 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR*  /\  ( S  +  r )  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
202199, 200, 201syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR  /\  ( S  +  r
)  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
203198, 189, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
204184, 185, 197, 203mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
205180, 204sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  V )
206179, 205elind 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  V
) )
207176, 206sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( RR  \  A
) )
208207expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( ( S  -  r )  < 
w  ->  w  e.  ( RR  \  A ) ) )
209175, 208mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  ( S  -  r )  < 
w )
210165ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
211183, 210lenltd 9748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( w  <_ 
( S  -  r
)  <->  -.  ( S  -  r )  < 
w ) )
212209, 211mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  ( S  -  r )
)
213212ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) )
21418ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
21530ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
21641ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
217165adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( S  -  r
)  e.  RR )
218 suprleub 10527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  -  r
)  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
219214, 215, 216, 217, 218syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
220213, 219mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r ) )
2211, 220syl5eqbr 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  S  <_  ( S  -  r ) )
222221ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r
) ) )
223170, 222sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r ) ) )
224167, 223mtod 177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
225224nrexdv 2913 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
226 reconnlem2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
227153mopni2 21122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  V
)  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
228102, 227mp3an1 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  S  e.  V )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
229228ex 434 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
230226, 229syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
231225, 230mtod 177 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  V
)
232 ioran 490 . . . 4  |-  ( -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V
)  <->  ( -.  S  e.  U  /\  -.  S  e.  V ) )
233160, 231, 232sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
234 elun 3641 . . 3  |-  ( S  e.  ( U  u.  V )  <->  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
235233, 234sylnibr 305 . 2  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  ( U  u.  V ) )
236 elicc2 11614 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
23721, 23, 236syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
23844, 65, 119, 237mpbir3and 1179 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( B [,] C ) )
23915, 238sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
240 ssel 3493 . . 3  |-  ( A 
C_  ( U  u.  V )  ->  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
241239, 240syl5com 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( U  u.  V )  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
242235, 241mtod 177 1  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   ran crn 5009    |` cres 5010    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508    + caddc 9512   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   abscabs 13079   topGenctg 14855   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529
This theorem is referenced by:  reconn  21459
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