Theorem reconnlem2 21067

Description: Lemma for reconn 21068. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reconnlem2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
reconnlem2.2	|- ( ph -> U e. ( topGen ` ran (,) ) )
reconnlem2.3	|- ( ph -> V e. ( topGen ` ran (,) ) )
reconnlem2.4	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
reconnlem2.5	|- ( ph -> B e. ( U i^i A ) )
reconnlem2.6	|- ( ph -> C e. ( V i^i A ) )
reconnlem2.7	|- ( ph -> ( U i^i V ) C_ ( RR \ A ) )
reconnlem2.8	|- ( ph -> B <_ C )
reconnlem2.9	|- S = sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
reconnlem2	|- ( ph -> -. A C_ ( U u. V ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   C( x)   S( x, y)   U( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem reconnlem2

Dummy variables w z r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem2.9	. . . . . . . . . . 11 |- S = sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < )
2		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ ( B [,] C )
3		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U i^i A ) C_ A
4		reconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. ( U i^i A ) )
5	3, 4	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. A )
6		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V i^i A ) C_ A
7		reconnlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. ( V i^i A ) )
8	6, 7	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. A )
9		reconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
10		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = B -> ( x [,] y ) = ( B [,] y ) )
11	10	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( ( x [,] y ) C_ A <-> ( B [,] y ) C_ A ) )
12		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = C -> ( B [,] y ) = ( B [,] C ) )
13	12	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = C -> ( ( B [,] y ) C_ A <-> ( B [,] C ) C_ A ) )
14	11, 13	rspc2va 3224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. A /\ C e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( B [,] C ) C_ A )
15	5, 8, 9, 14	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ A )
16		reconnlem2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ RR )
17	15, 16	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
18	2, 17	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR )
19		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U i^i A ) C_ U
20	19, 4	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. U )
21	16, 5	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR )
22	21	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
23	16, 8	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. RR )
24	23	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR* )
25		reconnlem2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B <_ C )
26		lbicc2 11632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
28	20, 27	elind 3688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( U i^i ( B [,] C ) ) )
29		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( U i^i ( B [,] C ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) )
31	2	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) -> w e. ( B [,] C ) )
32		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( w e. ( B [,] C ) <-> ( w e. RR /\ B <_ w /\ w <_ C ) ) )
33	21, 23, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( w e. ( B [,] C ) <-> ( w e. RR /\ B <_ w /\ w <_ C ) ) )
34		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. RR /\ B <_ w /\ w <_ C ) -> w <_ C )
35	33, 34	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( w e. ( B [,] C ) -> w <_ C ) )
36	31, 35	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) -> w <_ C ) )
37	36	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ C )
38		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( w <_ z <-> w <_ C ) )
39	38	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = C -> ( A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z <-> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ C ) )
40	39	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ C ) -> E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z )
41	23, 37, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z )
42		suprcl 10499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) -> sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) e. RR )
43	18, 30, 41, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) e. RR )
44	1, 43	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. RR )
45		rphalfcl 11240	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
46		ltaddrp 11248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> S < ( S + ( r / 2 ) ) )
47	44, 45, 46	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S < ( S + ( r / 2 ) ) )
48	44	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S e. RR )
49	45	rpred 11252	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR )
50		readdcl 9571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. RR )
51	44, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. RR )
52	48, 51	ltnled 9727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( S + ( r / 2 ) ) <-> -. ( S + ( r / 2 ) ) <_ S ) )
53	47, 52	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( S + ( r / 2 ) ) <_ S )
54	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR )
55	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) )
56	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z )
57		inss1 3718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U i^i ( -oo (,) C ) ) C_ U
58		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
59	57, 58	sseldi 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. U )
60	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. RR )
61	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> B e. RR )
62	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> S e. RR )
63		suprub 10500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) /\ B e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> B <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
64	18, 30, 41, 28, 63	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
65	64, 1	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B <_ S )
66	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> B <_ S )
67	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> S < ( S + ( r / 2 ) ) )
68	62, 60, 67	ltled 9728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> S <_ ( S + ( r / 2 ) ) )
69	61, 62, 60, 66, 68	letrd 9734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> B <_ ( S + ( r / 2 ) ) )
70	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> C e. RR )
71		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U i^i ( -oo (,) C ) ) C_ ( -oo (,) C )
72	71, 58	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( -oo (,) C ) )
73		eliooord 11580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( -oo (,) C ) -> ( -oo < ( S + ( r / 2 ) ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) < C ) )
74	73	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( -oo (,) C ) -> ( S + ( r / 2 ) ) < C )
75	72, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) < C )
76	60, 70, 75	ltled 9728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) <_ C )
77		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. RR /\ B <_ ( S + ( r / 2 ) ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) <_ C ) ) )
78	61, 70, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. RR /\ B <_ ( S + ( r / 2 ) ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) <_ C ) ) )
79	60, 69, 76, 78	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( B [,] C ) )
80	59, 79	elind 3688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( B [,] C ) ) )
81		suprub 10500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
82	54, 55, 56, 80, 81	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
83	82, 1	syl6breqr 4487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) <_ S )
84	53, 83	mtand 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
85		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
86	85	remetdval 21029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S + ( r / 2 ) ) e. RR /\ S e. RR ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) = ( abs ` ( ( S + ( r / 2 ) ) - S ) ) )
87	51, 48, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) = ( abs ` ( ( S + ( r / 2 ) ) - S ) ) )
88	48	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S e. CC )
89	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR )
90	89	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. CC )
91	88, 90	pncan2d 9928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) - S ) = ( r / 2 ) )
92	91	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( S + ( r / 2 ) ) - S ) ) = ( abs ` ( r / 2 ) ) )
93	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
94		rpre 11222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR )
95		rpge0 11228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( r / 2 ) )
96	94, 95	absidd 13213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( r / 2 ) ) = ( r / 2 ) )
97	93, 96	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( abs ` ( r / 2 ) ) = ( r / 2 ) )
98	87, 92, 97	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) = ( r / 2 ) )
99		rphalflt 11242	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
100	99	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) < r )
101	98, 100	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) < r )
102	85	rexmet 21031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) )
104		rpxr 11223	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
105	104	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
106		elbl3 20630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ r e. RR* ) /\ ( S e. RR /\ ( S + ( r / 2 ) ) e. RR ) ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) <-> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) < r ) )
107	103, 105, 48, 51, 106	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) <-> ( ( S + ( r / 2 ) ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) S ) < r ) )
108	101, 107	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) )
109		ssel 3498	. . . . . . . 8 |- ( ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) -> ( ( S + ( r / 2 ) ) e. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
110	108, 109	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) -> ( S + ( r / 2 ) ) e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
111	84, 110	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
112	111	nrexdv 2920	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
113	44	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. U ) -> S e. RR )
114		mnflt 11329	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. RR -> -oo < S )
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. U ) -> -oo < S )
116		suprleub 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) /\ C e. RR ) -> ( sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ C <-> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ C ) )
117	18, 30, 41, 23, 116	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ C <-> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ C ) )
118	37, 117	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ C )
119	1, 118	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S <_ C )
120	44, 23	leloed 9723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S <_ C <-> ( S < C \/ S = C ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S < C \/ S = C ) )
122	121	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -. S < C -> S = C ) )
123		elndif 3628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. A -> -. C e. ( RR \ A ) )
124	8, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. C e. ( RR \ A ) )
125		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V i^i A ) C_ V
126	125, 7	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. V )
127		elin 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. ( U i^i V ) <-> ( C e. U /\ C e. V ) )
128		reconnlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( U i^i V ) C_ ( RR \ A ) )
129	128	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C e. ( U i^i V ) -> C e. ( RR \ A ) ) )
130	127, 129	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( C e. U /\ C e. V ) -> C e. ( RR \ A ) ) )
131	126, 130	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C e. U -> C e. ( RR \ A ) ) )
132	124, 131	mtod 177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. C e. U )
133		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = C -> ( S e. U <-> C e. U ) )
134	133	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S = C -> ( -. S e. U <-> -. C e. U ) )
135	132, 134	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S = C -> -. S e. U ) )
136	122, 135	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -. S < C -> -. S e. U ) )
137	136	con4d 105	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. U -> S < C ) )
138	137	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. U ) -> S < C )
139		mnfxr 11319	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
140		elioo2 11566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( S e. ( -oo (,) C ) <-> ( S e. RR /\ -oo < S /\ S < C ) ) )
141	139, 24, 140	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. ( -oo (,) C ) <-> ( S e. RR /\ -oo < S /\ S < C ) ) )
142	141	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. U ) -> ( S e. ( -oo (,) C ) <-> ( S e. RR /\ -oo < S /\ S < C ) ) )
143	113, 115, 138, 142	mpbir3and 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S e. U ) -> S e. ( -oo (,) C ) )
144	143	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. U -> S e. ( -oo (,) C ) ) )
145	144	ancld 553	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S e. U -> ( S e. U /\ S e. ( -oo (,) C ) ) ) )
146		elin 3687	. . . . . . 7 |- ( S e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) <-> ( S e. U /\ S e. ( -oo (,) C ) ) )
147		reconnlem2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( topGen ` ran (,) ) )
148		retop 21003	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
149		iooretop 21008	. . . . . . . . 9 |- ( -oo (,) C ) e. ( topGen ` ran (,) )
150		inopn 19175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ U e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( -oo (,) C ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( U i^i ( -oo (,) C ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
151	148, 149, 150	mp3an13 1315	. . . . . . . 8 |- ( U e. ( topGen ` ran (,) ) -> ( U i^i ( -oo (,) C ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
152		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
153	85, 152	tgioo 21036	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
154	153	mopni2 20731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
155	102, 154	mp3an1 1311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U i^i ( -oo (,) C ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) )
156	155	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( U i^i ( -oo (,) C ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) -> ( S e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
157	147, 151, 156	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. ( U i^i ( -oo (,) C ) ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
158	146, 157	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S e. U /\ S e. ( -oo (,) C ) ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
159	145, 158	syld 44	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. U -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( U i^i ( -oo (,) C ) ) ) )
160	112, 159	mtod 177	. . . 4 |- ( ph -> -. S e. U )
161		ltsubrp 11247	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( S - r ) < S )
162	44, 161	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S - r ) < S )
163		rpre 11222	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
164		resubcl 9879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ r e. RR ) -> ( S - r ) e. RR )
165	44, 163, 164	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S - r ) e. RR )
166	165, 48	ltnled 9727	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S - r ) < S <-> -. S <_ ( S - r ) ) )
167	162, 166	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. S <_ ( S - r ) )
168	85	bl2ioo 21032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ r e. RR ) -> ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) )
169	44, 163, 168	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) )
170	169	sseq1d 3531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V <-> ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) )
171	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( B [,] C ) C_ A )
172	2, 171	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ A )
173	172	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> w e. A )
174		elndif 3628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. A -> -. w e. ( RR \ A ) )
175	173, 174	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> -. w e. ( RR \ A ) )
176	128	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( U i^i V ) C_ ( RR \ A ) )
177		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ U
178		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) )
179	177, 178	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. U )
180		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V )
181	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR )
182		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) )
183	181, 182	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> w e. RR )
184	183	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. RR )
185		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( S - r ) < w )
186	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> S e. RR )
187		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> r e. RR+ )
188	187	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> r e. RR )
189	186, 188	readdcld 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( S + r ) e. RR )
190	181	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR )
191	30	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) )
192	41	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z )
193		suprub 10500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> w <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
194	190, 191, 192, 178, 193	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w <_ sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) )
195	194, 1	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w <_ S )
196	186, 187	ltaddrpd 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> S < ( S + r ) )
197	184, 186, 189, 195, 196	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w < ( S + r ) )
198	165	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( S - r ) e. RR )
199		rexr 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S - r ) e. RR -> ( S - r ) e. RR* )
200		rexr 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S + r ) e. RR -> ( S + r ) e. RR* )
201		elioo2 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S - r ) e. RR* /\ ( S + r ) e. RR* ) -> ( w e. ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) <-> ( w e. RR /\ ( S - r ) < w /\ w < ( S + r ) ) ) )
202	199, 200, 201	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S - r ) e. RR /\ ( S + r ) e. RR ) -> ( w e. ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) <-> ( w e. RR /\ ( S - r ) < w /\ w < ( S + r ) ) ) )
203	198, 189, 202	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> ( w e. ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) <-> ( w e. RR /\ ( S - r ) < w /\ w < ( S + r ) ) ) )
204	184, 185, 197, 203	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) )
205	180, 204	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. V )
206	179, 205	elind 3688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. ( U i^i V ) )
207	176, 206	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ ( w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) /\ ( S - r ) < w ) ) -> w e. ( RR \ A ) )
208	207	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> ( ( S - r ) < w -> w e. ( RR \ A ) ) )
209	175, 208	mtod 177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> -. ( S - r ) < w )
210	165	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> ( S - r ) e. RR )
211	183, 210	lenltd 9726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> ( w <_ ( S - r ) <-> -. ( S - r ) < w ) )
212	209, 211	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) /\ w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) ) -> w <_ ( S - r ) )
213	212	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ ( S - r ) )
214	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR )
215	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) )
216	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z )
217	165	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( S - r ) e. RR )
218		suprleub 10503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( U i^i ( B [,] C ) ) C_ RR /\ ( U i^i ( B [,] C ) ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ z ) /\ ( S - r ) e. RR ) -> ( sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ ( S - r ) <-> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ ( S - r ) ) )
219	214, 215, 216, 217, 218	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> ( sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ ( S - r ) <-> A. w e. ( U i^i ( B [,] C ) ) w <_ ( S - r ) ) )
220	213, 219	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> sup ( ( U i^i ( B [,] C ) ) , RR , < ) <_ ( S - r ) )
221	1, 220	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V ) -> S <_ ( S - r ) )
222	221	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( S - r ) (,) ( S + r ) ) C_ V -> S <_ ( S - r ) ) )
223	170, 222	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V -> S <_ ( S - r ) ) )
224	167, 223	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V )
225	224	nrexdv 2920	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V )
226		reconnlem2.3	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. ( topGen ` ran (,) ) )
227	153	mopni2 20731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ V e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. V ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V )
228	102, 227	mp3an1 1311	. . . . . . 7 |- ( ( V e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. V ) -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V )
229	228	ex 434	. . . . . 6 |- ( V e. ( topGen ` ran (,) ) -> ( S e. V -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V ) )
230	226, 229	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. V -> E. r e. RR+ ( S ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ V ) )
231	225, 230	mtod 177	. . . 4 |- ( ph -> -. S e. V )
232		ioran 490	. . . 4 |- ( -. ( S e. U \/ S e. V ) <-> ( -. S e. U /\ -. S e. V ) )
233	160, 231, 232	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> -. ( S e. U \/ S e. V ) )
234		elun 3645	. . 3 |- ( S e. ( U u. V ) <-> ( S e. U \/ S e. V ) )
235	233, 234	sylnibr 305	. 2 |- ( ph -> -. S e. ( U u. V ) )
236		elicc2 11585	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( S e. ( B [,] C ) <-> ( S e. RR /\ B <_ S /\ S <_ C ) ) )
237	21, 23, 236	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. ( B [,] C ) <-> ( S e. RR /\ B <_ S /\ S <_ C ) ) )
238	44, 65, 119, 237	mpbir3and 1179	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( B [,] C ) )
239	15, 238	sseldd 3505	. . 3 |- ( ph -> S e. A )
240		ssel 3498	. . 3 |- ( A C_ ( U u. V ) -> ( S e. A -> S e. ( U u. V ) ) )
241	239, 240	syl5com 30	. 2 |- ( ph -> ( A C_ ( U u. V ) -> S e. ( U u. V ) ) )
242	235, 241	mtod 177	1 |- ( ph -> -. A C_ ( U u. V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   ran crn 5000   |` cres 5001   o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   + caddc 9491   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   abscabs 13026   topGenctg 14689   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176   MetOpencmopn 18179   Topctop 19161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169

This theorem is referenced by:  reconn  21068