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Theorem reconnlem1 21779
Description: Lemma for reconn 21781. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
2 retopon 21719 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
4 simplll 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  RR )
5 iooretop 21721 . . . . . . 7  |-  ( -oo (,) z )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo (,) z )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
7 iooretop 21721 . . . . . . 7  |-  ( z (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9 simplrl 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  A )
104, 9sseldd 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  RR )
11 mnflt 11369 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  -> -oo  <  X )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  X )
13 eldifn 3524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  -.  z  e.  A )
1413adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  e.  A
)
15 eleq1 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  z  ->  ( X  e.  A  <->  z  e.  A ) )
169, 15syl5ibcom 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  =  z  ->  z  e.  A
) )
1714, 16mtod 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  X  =  z
)
18 eldifi 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  z  e.  ( X [,] Y
) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  ( X [,] Y ) )
20 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  A )
214, 20sseldd 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  RR )
22 elicc2 11643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2310, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2419, 23mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) )
2524simp2d 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <_  z )
2624simp1d 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR )
2710, 26leloed 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <_  z  <->  ( X  <  z  \/  X  =  z ) ) )
2825, 27mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <  z  \/  X  =  z
) )
2928ord 378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  X  < 
z  ->  X  =  z ) )
3017, 29mt3d 128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <  z )
31 mnfxr 11358 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
3226rexrd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR* )
33 elioo2 11621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z
) ) )
3431, 32, 33sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  e.  ( -oo (,) z )  <-> 
( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z ) ) )
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  ( -oo (,) z ) )
36 inelcm 3785 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( -oo (,) z )  /\  X  e.  A )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  A )  =/=  (/) )
3735, 9, 36syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  A
)  =/=  (/) )
38 eleq1 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  A  <->  Y  e.  A ) )
3920, 38syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  =  Y  ->  z  e.  A
) )
4014, 39mtod 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  =  Y
)
4124simp3d 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  Y )
4226, 21leloed 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <_  Y  <->  ( z  <  Y  \/  z  =  Y )
) )
4341, 42mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <  Y  \/  z  =  Y
) )
4443ord 378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  z  < 
Y  ->  z  =  Y ) )
4540, 44mt3d 128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <  Y )
46 ltpnf 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  < +oo )
4721, 46syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  < +oo )
48 pnfxr 11356 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
49 elioo2 11621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  < 
Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5032, 48, 49sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  <  Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  ( z (,) +oo ) )
52 inelcm 3785 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( z (,) +oo )  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
5351, 20, 52syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
54 inss1 3618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i 
A )  C_  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )
5532, 31jctil 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
5632, 48jctir 540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )
5726leidd 10124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  z )
58 ioodisj 11706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -oo  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( z  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )  /\  z  <_  z )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )
5955, 56, 57, 58syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  =  (/) )
60 sseq0 3732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  C_  ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  /\  ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i  A
)  =  (/) )
6154, 59, 60sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  =  (/) )
6231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  e.  RR* )
6348a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> +oo  e.  RR* )
64 mnflt 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  z )
66 ltpnf 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  < +oo )
68 ioojoin 11707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  z  /\  z  < +oo ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
70 unass 3559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )
71 un12 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
7270, 71eqtri 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
73 ioomax 11653 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
7469, 72, 733eqtr3g 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  =  RR )
754, 74sseqtr4d 3437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
76 disjsn 3996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
7714, 76sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
78 disjssun 3788 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
8075, 79mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconsubb 20373 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
8281ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( z  e.  ( ( X [,] Y
)  \  A )  ->  -.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con ) )
831, 82mt2d 120 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  ->  -.  z  e.  (
( X [,] Y
)  \  A )
)
8483eq0rdv 3735 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( X [,] Y )  \  A
)  =  (/) )
85 ssdif0 3789 . 2  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  A  <->  ( ( X [,] Y )  \  A )  =  (/) )
8684, 85sylibr 215 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593    \ cdif 3369    u. cun 3370    i^i cin 3371    C_ wss 3372   (/)c0 3697   {csn 3934   class class class wbr 4359   ran crn 4790   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   RRcr 9482   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11579   [,]cicc 11582   ↾t crest 15255   topGenctg 15272  TopOnctopon 19853   Conccon 20361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-q 11209  df-ioo 11583  df-ico 11585  df-icc 11586  df-rest 15257  df-topgen 15278  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-cld 19969  df-con 20362
This theorem is referenced by:  reconn  21781
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