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Theorem reconnlem1 21513
Description: Lemma for reconn 21515. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
2 retopon 21452 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
4 simplll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  RR )
5 iooretop 21455 . . . . . . 7  |-  ( -oo (,) z )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo (,) z )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
7 iooretop 21455 . . . . . . 7  |-  ( z (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9 simplrl 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  A )
104, 9sseldd 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  RR )
11 mnflt 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  -> -oo  <  X )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  X )
13 eldifn 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  -.  z  e.  A )
1413adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  e.  A
)
15 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  z  ->  ( X  e.  A  <->  z  e.  A ) )
169, 15syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  =  z  ->  z  e.  A
) )
1714, 16mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  X  =  z
)
18 eldifi 3562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  z  e.  ( X [,] Y
) )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  ( X [,] Y ) )
20 simplrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  A )
214, 20sseldd 3440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  RR )
22 elicc2 11558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2310, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2419, 23mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) )
2524simp2d 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <_  z )
2624simp1d 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR )
2710, 26leloed 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <_  z  <->  ( X  <  z  \/  X  =  z ) ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <  z  \/  X  =  z
) )
2928ord 375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  X  < 
z  ->  X  =  z ) )
3017, 29mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <  z )
31 mnfxr 11292 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
3226rexrd 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR* )
33 elioo2 11539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z
) ) )
3431, 32, 33sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  e.  ( -oo (,) z )  <-> 
( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z ) ) )
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  ( -oo (,) z ) )
36 inelcm 3821 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( -oo (,) z )  /\  X  e.  A )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  A )  =/=  (/) )
3735, 9, 36syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  A
)  =/=  (/) )
38 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  A  <->  Y  e.  A ) )
3920, 38syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  =  Y  ->  z  e.  A
) )
4014, 39mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  =  Y
)
4124simp3d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  Y )
4226, 21leloed 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <_  Y  <->  ( z  <  Y  \/  z  =  Y )
) )
4341, 42mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <  Y  \/  z  =  Y
) )
4443ord 375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  z  < 
Y  ->  z  =  Y ) )
4540, 44mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <  Y )
46 ltpnf 11300 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  < +oo )
4721, 46syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  < +oo )
48 pnfxr 11290 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
49 elioo2 11539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  < 
Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5032, 48, 49sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  <  Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  ( z (,) +oo ) )
52 inelcm 3821 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( z (,) +oo )  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
5351, 20, 52syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
54 inss1 3656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i 
A )  C_  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )
5532, 31jctil 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
5632, 48jctir 536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )
5726leidd 10077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  z )
58 ioodisj 11619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -oo  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( z  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )  /\  z  <_  z )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )
5955, 56, 57, 58syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  =  (/) )
60 sseq0 3768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  C_  ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  /\  ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i  A
)  =  (/) )
6154, 59, 60sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  =  (/) )
6231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  e.  RR* )
6348a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> +oo  e.  RR* )
64 mnflt 11302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  z )
66 ltpnf 11300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  < +oo )
68 ioojoin 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  z  /\  z  < +oo ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
70 unass 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )
71 un12 3598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
7270, 71eqtri 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
73 ioomax 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
7469, 72, 733eqtr3g 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  =  RR )
754, 74sseqtr4d 3476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
76 disjsn 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
7714, 76sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
78 disjssun 3824 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
8075, 79mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconsubb 20106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
8281ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( z  e.  ( ( X [,] Y
)  \  A )  ->  -.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con ) )
831, 82mt2d 117 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  ->  -.  z  e.  (
( X [,] Y
)  \  A )
)
8483eq0rdv 3771 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( X [,] Y )  \  A
)  =  (/) )
85 ssdif0 3825 . 2  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  A  <->  ( ( X [,] Y )  \  A )  =  (/) )
8684, 85sylibr 212 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596    \ cdif 3408    u. cun 3409    i^i cin 3410    C_ wss 3411   (/)c0 3735   {csn 3969   class class class wbr 4392   ran crn 4941   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   +oocpnf 9573   -oocmnf 9574   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577   (,)cioo 11498   [,]cicc 11501   ↾t crest 14925   topGenctg 14942  TopOnctopon 19577   Conccon 20094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cld 19702  df-con 20095
This theorem is referenced by:  reconn  21515
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