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Theorem reconnlem1 21922
Description: Lemma for reconn 21924. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 770 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
2 retopon 21862 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
4 simplll 776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  RR )
5 iooretop 21864 . . . . . . 7  |-  ( -oo (,) z )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo (,) z )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
7 iooretop 21864 . . . . . . 7  |-  ( z (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9 simplrl 778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  A )
104, 9sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  RR )
11 mnflt 11448 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  -> -oo  <  X )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  X )
13 eldifn 3545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  -.  z  e.  A )
1413adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  e.  A
)
15 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  z  ->  ( X  e.  A  <->  z  e.  A ) )
169, 15syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  =  z  ->  z  e.  A
) )
1714, 16mtod 182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  X  =  z
)
18 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  z  e.  ( X [,] Y
) )
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  ( X [,] Y ) )
20 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  A )
214, 20sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  RR )
22 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2310, 21, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2419, 23mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) )
2524simp2d 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <_  z )
2624simp1d 1042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR )
2710, 26leloed 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <_  z  <->  ( X  <  z  \/  X  =  z ) ) )
2825, 27mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <  z  \/  X  =  z
) )
2928ord 384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  X  < 
z  ->  X  =  z ) )
3017, 29mt3d 130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <  z )
31 mnfxr 11437 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
3226rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR* )
33 elioo2 11702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z
) ) )
3431, 32, 33sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  e.  ( -oo (,) z )  <-> 
( X  e.  RR  /\ -oo  <  X  /\  X  <  z ) ) )
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  ( -oo (,) z ) )
36 inelcm 3823 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( -oo (,) z )  /\  X  e.  A )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  A )  =/=  (/) )
3735, 9, 36syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  A
)  =/=  (/) )
38 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  A  <->  Y  e.  A ) )
3920, 38syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  =  Y  ->  z  e.  A
) )
4014, 39mtod 182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  =  Y
)
4124simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  Y )
4226, 21leloed 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <_  Y  <->  ( z  <  Y  \/  z  =  Y )
) )
4341, 42mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <  Y  \/  z  =  Y
) )
4443ord 384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  z  < 
Y  ->  z  =  Y ) )
4540, 44mt3d 130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <  Y )
46 ltpnf 11445 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  < +oo )
4721, 46syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  < +oo )
48 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
49 elioo2 11702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  < 
Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5032, 48, 49sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( Y  e.  ( z (,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  <  Y  /\  Y  < +oo ) ) )
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  ( z (,) +oo ) )
52 inelcm 3823 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( z (,) +oo )  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
5351, 20, 52syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( z (,) +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
54 inss1 3643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i 
A )  C_  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )
5532, 31jctil 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
5632, 48jctir 547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )
5726leidd 10201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  z )
58 ioodisj 11788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -oo  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( z  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* ) )  /\  z  <_  z )  ->  (
( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )
5955, 56, 57, 58syl21anc 1291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  =  (/) )
60 sseq0 3769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  C_  ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  /\  ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) z )  i^i  ( z (,) +oo ) )  i^i  A
)  =  (/) )
6154, 59, 60sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  i^i  (
z (,) +oo )
)  i^i  A )  =  (/) )
6231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  e.  RR* )
6348a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> +oo  e.  RR* )
64 mnflt 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> -oo  <  z )
66 ltpnf 11445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  < +oo )
68 ioojoin 11789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  z  /\  z  < +oo ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( ( -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
70 unass 3582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )
71 un12 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) +oo ) ) )  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
7270, 71eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,) +oo )
)  =  ( { z }  u.  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) )
73 ioomax 11734 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
7469, 72, 733eqtr3g 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  =  RR )
754, 74sseqtr4d 3455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
76 disjsn 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
7714, 76sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
78 disjssun 3826 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  C_  ( { z }  u.  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )  <->  A  C_  (
( -oo (,) z )  u.  ( z (,) +oo ) ) ) )
8075, 79mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( ( -oo (,) z )  u.  (
z (,) +oo )
) )
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconsubb 20515 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
8281ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( z  e.  ( ( X [,] Y
)  \  A )  ->  -.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con ) )
831, 82mt2d 121 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  ->  -.  z  e.  (
( X [,] Y
)  \  A )
)
8483eq0rdv 3773 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( X [,] Y )  \  A
)  =  (/) )
85 ssdif0 3741 . 2  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  A  <->  ( ( X [,] Y )  \  A )  =  (/) )
8684, 85sylibr 217 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   topGenctg 15414  TopOnctopon 19995   Conccon 20503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-con 20504
This theorem is referenced by:  reconn  21924
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