MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Structured version   Unicode version

Theorem recnz 10705
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 10217 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
21simprd 460 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
31simpld 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
4 0z 10645 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 zltp1le 10682 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  <->  ( 0  +  1 )  <_  (
1  /  A ) ) )
64, 5mpan 663 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
7 0p1e1 10421 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87breq1i 4287 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) )
96, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
103, 9syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
11 1re 9373 . . . 4  |-  1  e.  RR
12 0lt1 9850 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
13 0re 9374 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
14 lttr 9439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1513, 11, 14mp3an12 1297 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1612, 15mpani 669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
1716imdistani 683 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
18 gt0ne0 9792 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0 )
20 rereccl 10037 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
2119, 20syldan 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
22 lenlt 9441 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 1  /  A
)  <->  -.  ( 1  /  A )  <  1 ) )
2311, 21, 22sylancr 656 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  <_  (
1  /  A )  <->  -.  ( 1  /  A
)  <  1 ) )
2410, 23sylibd 214 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  -.  ( 1  /  A )  <  1
) )
252, 24mt2d 117 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    <_ cle 9407    / cdiv 9981   ZZcz 10634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635
This theorem is referenced by:  halfnz  10708  facndiv  12048
  Copyright terms: Public domain W3C validator