MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Structured version   Unicode version

Theorem recnz 10720
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 10232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
21simprd 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
31simpld 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
4 0z 10660 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 zltp1le 10697 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  <->  ( 0  +  1 )  <_  (
1  /  A ) ) )
64, 5mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
7 0p1e1 10436 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87breq1i 4302 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) )
96, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
103, 9syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
11 1re 9388 . . . 4  |-  1  e.  RR
12 0lt1 9865 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
13 0re 9389 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
14 lttr 9454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1513, 11, 14mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1612, 15mpani 676 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
1716imdistani 690 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
18 gt0ne0 9807 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0 )
20 rereccl 10052 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
2119, 20syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
22 lenlt 9456 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 1  /  A
)  <->  -.  ( 1  /  A )  <  1 ) )
2311, 21, 22sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  <_  (
1  /  A )  <->  -.  ( 1  /  A
)  <  1 ) )
2410, 23sylibd 214 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  -.  ( 1  /  A )  <  1
) )
252, 24mt2d 117 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    < clt 9421    <_ cle 9422    / cdiv 9996   ZZcz 10649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650
This theorem is referenced by:  halfnz  10723  facndiv  12067
  Copyright terms: Public domain W3C validator