MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnperf Structured version   Unicode version

Theorem recnperf 22745
Description: Both  RR and  CC are perfect subsets of  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recnperf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
recnperf  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( Kt  S
)  e. Perf )

Proof of Theorem recnperf
StepHypRef Expression
1 elpri 4022 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
2 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( S  =  RR  ->  ( Kt  S )  =  ( Kt  RR ) )
3 recnperf.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43reperf 21752 . . . 4  |-  ( Kt  RR )  e. Perf
52, 4syl6eqel 2525 . . 3  |-  ( S  =  RR  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
6 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( S  =  CC  ->  ( Kt  S )  =  ( Kt  CC ) )
73cnfldtopon 21718 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
87toponunii 19882 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. K
98restid 15295 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
107, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Kt  CC )  =  K
113cnperf 21753 . . . . 5  |-  K  e. Perf
1210, 11eqeltri 2513 . . . 4  |-  ( Kt  CC )  e. Perf
136, 12syl6eqel 2525 . . 3  |-  ( S  =  CC  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
145, 13jaoi 380 . 2  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
151, 14syl 17 1  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( Kt  S
)  e. Perf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cpr 4004   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   ↾t crest 15282   TopOpenctopn 15283  ℂfldccnfld 18909  TopOnctopon 19853  Perfcperf 20086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-starv 15168  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-unif 15176  df-rest 15284  df-topn 15285  df-topgen 15305  df-psmet 18901  df-xmet 18902  df-met 18903  df-bl 18904  df-mopn 18905  df-cnfld 18910  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-xms 21270  df-ms 21271
This theorem is referenced by:  dvfg  22746
  Copyright terms: Public domain W3C validator