Theorem recnd 6468

Description: Deduction from real number to complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
recnd.1	|- (ph -> A e. RR)

Assertion

Ref	Expression
recnd	|- (ph -> A e. CC)

Proof of Theorem recnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnd.1	. 2 |- (ph -> A e. RR)
2		recn 6466	. 2 |- (A e. RR -> A e. CC)
3	1, 2	syl 12	1 |- (ph -> A e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  CCcc 6384  RRcr 6385

This theorem is referenced by:  recp1lt1 7084  recreclt 7085  ledivp1 7088  rpcn 7237  zcn 7349  zeo 7411  fladdz 7484  flzadd 7485  ceim1l 7490  intfracq 7496  fldiv 7497  modlt 7504  modfrac 7505  flmod 7506  intfrac 7507  flmulnn0 7508  flmulnn0OLD 7509  modmulnn 7510  modid 7512  modcyc 7516  modadd1 7518  moddi 7520  modsubdir 7521  modirr 7522  icoshftf1oii 7578  expordi 7845  exple1 7852  expubnd 7853  bernneq2 7900  discrlem3 7908  sqsqri 7971  cjcl 8014  imre 8023  reim0 8024  reim0b 8025  rereb 8026  mulre 8027  resub 8056  imsub 8059  recj 8068  imcj 8069  cj11OLD 8081  absexp 8119  abs2difabs 8155  caurei 8179  cauimi 8180  ser1absdiflem 8181  faclbnd 8197  faclbnd5 8205  fsumcmpndx2 8302  fsumabs 8303  climrecl 8370  climge0 8372  climabs0i 8373  climmullem3 8382  climmullem4 8383  climsqueeze 8400  climsqueeze2 8401  climabsi 8409  climrei 8411  climimi 8412  caucvgi 8423  caucvg3ai 8424  caucvg3lem 8426  ser1cmp2i 8437  cvgcmp2lem 8440  cvgcmp3ci 8447  cvgcmp3cetlem1 8449  reccnv 8479  infcvglem2 8483  cvgratlem1 8512  cvgratlem2 8513  ivthlem6 8548  ivthlem7 8549  dsupivthlem 8553  erelem3 8583  efcji 8598  ef1tllem 8643  abspef01tlubi 8660  resin4p 8701  recos4p 8702  efeul 8714  sin01bndlem2 8734  sin01bndlem3 8735  cos01bndlem2 8736  cos01bndlem3 8737  sin01gt0 8742  cos01gt0 8743  sin02gt0 8744  absefi 8748  absefib 8750  efieq1re 8751  metsym 9093  metge0 9096  lmle 9238  bcthlem1 9277  bcthlem25 9301  nvm1 9624  nvpi 9626  nvz0 9628  nvmtri 9631  nvabs 9633  nvge0 9634  nv1 9636  nmcnilem 9676  sm1cnilem 9686  ipval2lem4 9695  ipval2 9696  4ipval2 9697  4ipval3 9701  ipid 9702  ipcj 9706  ip0r 9709  ipz 9711  ip1cnilem3 9714  ip1cnilem5 9716  ip1cnilem6 9717  nmoub3i 9775  nmlno0lem 9793  nmblolbii 9799  blocnilem 9804  cnph 9819  ipasslem4 9834  ipasslem5 9835  ipblnfi 9857  ubthlem7 9878  ubthlem8 9879  ubthlem9 9880  ubthlem10 9881  ubthlem12 9883  ubthlem12OLD 9884  minveclem9 9898  minveclem18 9907  minveclem25 9914  minveclem27 9916  minveclem30 9919  minveclem36 9925  minveclem38 9927  htthlem6 9972  pilem3 10022  sincosq2sgn 10054  sincosq3sgn 10055  sincosq4sgn 10056  sinq12gt0t 10057  sinq34lt0t 10058  coskpi 10064  sineq0 10065  sineq0OLD 10066  efif1lem4 10087  shftefif1olem 10095  eff1lem 10097  eff1i 10098  effoi 10099  reexplog 10127  relogexp 10128  normpyc 10646  hhph 10678  bcs2 10682  norm1 10754  norm1exi 10755  projlem25 10843  projlem26 10844  pjthlem4 10855  pjthlem6 10857  pjthlem8 10859  pjthlem11 10862  pjspansn 11133  osumlem3 11215  eigvalcl 11522  eighmorth 11525  nmlnop0iALT 11557  nmbdoplbi 11586  nmcopexlem3 11590  nmcopexlem5 11592  nmcopexlem6 11593  nmcoplbi 11595  lnopconi 11600  nmbdfnlbi 11615  nmcfnexlem3 11619  nmcfnexlem5 11621  nmcfnexlem6 11622  nmcfnlbi 11624  lnfnconi 11627  riesz4i 11633  cnlnadjlem2 11638  cnlnadjlem7 11643  nmopcoi 11665  nmopcoadji 11671  branmfn 11675  branmfnOLD 11676  leopnmid 11709  opsqrlem1 11711  hmopidmchlem 11722  hmopidmchi 11723  hst1h 11799  hstle 11802  hstoh 11804  sto2i 11809  stadd3i 11820  strlem1 11822  golem1 11843  stcltrlem1 11848  cdj1i 12005  cdj3lem1 12006  cdj3lem3b 12012  cdj3i 12013  nn0seqcvgd 13659  divalglem5 13700  divalgmod 13709  modgcd 13738  dmse1 15001  msr3 15003  msr4 15004  mslb1 15007  iintlem1 15010  lvsovso 15038  rddif 15798  absrdbnd 15799  mod0 15800  fsumleisumii 15825  fsumlt1 15831  csbrni 15832  trirni 15833  mettrifi2 15848  geomcau 15849  lmclim2 15850  caushft 15851  metdcn 15853  lincmb01cmp 15878  lincmb01icc 15879  heiborlem32 15986  bfplem6 16003  bfplem8 16005  rrnmet 16016  rrndstprj2 16018  rrntotbndlem1 16020  rrntotbndlem2 16021  reparpht 16065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396

Copyright terms: Public domain