Theorem recn 6466

Description: A real number is a complex number.

Assertion

Ref	Expression
recn	|- (A e. RR -> A e. CC)

Proof of Theorem recn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 6420	. 2 |- RR C_ CC
2	1	sseli 2617	1 |- (A e. RR -> A e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  CCcc 6384  RRcr 6385

This theorem is referenced by:  recnd 6468  cnegexlem1 6499  cnegexlem2 6500  cnegexlem3 6501  cnegex 6502  renegcli 6576  renegcliOLD 6577  resubcl 6601  pnfnre 6665  mnfnre 6666  ltadd2 6807  leadd2 6809  ltsubadd2 6811  lesubadd2 6813  ltaddsub2 6815  leaddsub2 6817  leltadd 6830  addgtge0OLD 6836  ltaddpos 6839  ltaddpos2 6840  posdif 6843  ltnegcon1 6845  lenegcon1 6847  lenegcon2 6848  lesub1 6849  lesub2 6850  ltsub1 6851  ltsub2 6852  addge01 6861  addge02 6862  subge0 6863  suble0 6864  mullt0 6870  recex 6876  redivcli 6976  ltm1 6993  prodgt02 7005  prodge02 7007  ltmul2 7009  ltmul2OLD 7010  lemul1 7011  lemul1OLD 7012  lemul2 7013  lemul2OLD 7014  lemul1a 7019  lemul1aOLD 7020  lemul2a 7021  lemul2aOLD 7022  mulgt1 7027  ltmulgt11 7028  ltmulgt12 7029  lemulge11 7030  gt0div 7035  ge0div 7036  ltmuldiv2 7047  ltmuldiv2OLD 7048  ltdivmul 7049  ltdivmulOLD 7050  ledivmul 7051  ledivmulOLD 7052  ltdivmul2 7053  lt2mul2div 7054  lt2mul2divOLD 7055  ledivmul2 7056  ledivmul2OLD 7057  lemuldiv2 7059  lemuldiv2OLD 7060  ltdiv2 7070  ltrec1 7071  lerec2 7072  ledivdiv 7073  lediv2 7074  ltdiv23 7075  lediv23 7076  lediv12a 7079  recp1lt1 7084  ledivp1 7088  nnge1 7126  nnleltp1 7138  lt2halves 7228  addltmul 7229  avgle 7231  infm3lem 7262  reuunineg 7275  infmrcl 7278  nnrecl 7281  elznn0 7358  elznn 7359  zaddcl 7374  elnn0nn 7380  zmulcl 7389  zltp1le 7390  gtndiv 7405  zeo 7411  dfuzi 7414  uzindOLD 7420  rebtwnz 7435  zq 7440  irradd 7457  irrmul 7458  qbtwnre 7459  flzadd 7485  intfrac2 7495  fldiv2 7498  modlt 7504  modfrac 7505  flmod 7506  intfrac 7507  modmulnn 7510  modid 7512  modcyc 7516  modcyc2 7517  modadd1 7518  modmul1 7519  moddi 7520  modsubdir 7521  modirr 7522  icoshftf1oii 7578  expgt0 7831  expge0 7833  expgt1 7834  expge1 7835  expordi 7845  expord2 7849  expmwordi 7851  expubnd 7853  sqgt0 7867  lt2sq 7875  le2sq 7876  sqlecan 7887  bernneq 7898  bernneqOLD 7899  bernneq2 7900  expnbnd 7901  expnlbnd2 7903  digit2 7904  digit1 7905  discrlem3 7908  rimul 7994  crre 8019  crim 8020  reim0 8024  mulre 8027  rere 8049  cjre 8060  cjreim 8078  cjreim2 8079  absreimsq 8107  absreim 8108  absdivzi 8110  absnid 8114  leabs 8115  absre 8117  absresq 8118  sqabs 8120  abssubne0 8134  absdiflt 8135  absdifle 8136  lenegsq 8137  releabs 8138  abssuble0 8148  absmax 8149  seq1ublem 8163  2climnn 8362  2climnn0 8363  climrecl 8370  climge0 8372  climaddlem3 8376  climmullem5 8384  climcmplem 8397  climcmpc1 8399  climsqueeze 8400  climsqueeze2 8401  climubii 8413  climsupi 8415  climcaui 8416  caucvgi 8423  iserzgt0 8472  explecnv 8495  cvgratlem1 8512  cvgratlem2 8513  cvgratlem5 8516  ivthlem1 8543  eftabsi 8637  reeftlcl 8642  reeff1 8675  absefm1lei 8677  reeff1o 8691  resinval 8698  recosval 8699  efi4p 8700  resin4p 8701  recos4p 8702  resincl 8703  recoscl 8704  efieq 8715  sinbnd 8731  cosbnd 8732  cos01bndlem3 8737  absefi 8748  absef 8749  znnen 8771  bl2in 9120  remetdval 9186  bl2ioo 9189  ioo2bl 9190  tgioolem 9192  lmuni 9229  lmle 9238  lmcau 9274  readdsubg 9437  nvsge0 9623  vacnlem3 9669  nmoub3i 9775  nmlnoubi 9796  isblo3i 9801  blocnilem 9804  ipasslem3 9833  ipasslem9 9839  ipasslem11 9841  ubthlem9 9880  minveclem24 9913  minveclem26 9915  pilem1 10020  pilem3 10022  sincosq1sgn 10053  sincosq2sgn 10054  sincosq3sgn 10055  sincosq4sgn 10056  sinq12gt0t 10057  sineq0 10065  sineq0OLD 10066  efif 10075  efifolem5 10080  efifolem6 10081  efifolem7 10082  efif1lem3 10086  efielcirc 10093  shftefif1olem 10095  resslogrn 10107  relogoprlem 10123  projlem24 10842  pjthlem7 10858  nmopub2tALT 11470  nmfnleub2 11487  hmopm 11583  lnopconi 11600  lnfnconi 11627  riesz1 11635  leopmuli 11704  leopmul 11705  leopmul2i 11706  leopnmid 11709  nmopleid 11710  cdj1i 12005  cdj3lem1 12006  cdj3i 12013  addltmulALT 12018  lemulge12 13600  modaddabs 13612  lediv2aALT 13621  eqreznegel 13654  negn0 13655  supminf 13656  gcdcllem1 13718  nndivlub 14259  truni1 14849  cbci 14852  cntrsetlem 14999  dmse1 15001  mslb1 15007  2wsms 15008  msra3 15009  iintlem1 15010  trran 15014  trnij 15015  cnvtr 15016  lvsovso 15038  reconnlem4 15449  reconnlem5 15450  rdr 15781  absz 15797  rddif 15798  absrdbnd 15799  mod0 15800  negmod0 15801  fsumleisumii 15825  csbrni 15832  blhalf 15846  geomcau 15849  lmclim2 15850  lincmb01cmp 15878  lincmb01icc 15879  heiborlem16 15970  bfplem9 16006  recms 16010  rrnmet 16016  rrndstprj1 16017  rrncms 16019  rrntotbndlem1 16020  rrntotbndlem2 16021  ismrer1 16024  iccbnd 16026  pcoass 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396

Copyright terms: Public domain