Theorem recmulpq 6222

Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions.

Hypothesis

Ref	Expression
recmulpq.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
recmulpq	|- (A e. Q. -> ((*Q` A) = B <-> (A .Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recmulpq.1	. 2 |- B e. _V
2		opreq1 4889	. . 3 |- (x = A -> (x .Q y) = (A .Q y))
3	2	eqeq1d 1892	. 2 |- (x = A -> ((x .Q y) = 1Q <-> (A .Q y) = 1Q))
4		opreq2 4890	. . 3 |- (y = B -> (A .Q y) = (A .Q B))
5	4	eqeq1d 1892	. 2 |- (y = B -> ((A .Q y) = 1Q <-> (A .Q B) = 1Q))
6		df-nq 6190	. . . 4 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		opreq1 4889	. . . . . 6 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> ([<.z, w>.] ~Q .Q y) = (x .Q y))
8	7	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> (([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> (x .Q y) = 1Q))
9	8	exbidv 1657	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> (E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> E.y(x .Q y) = 1Q))
10		mulpipq 6207	. . . . . . . 8 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (w e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
11	10	an42s 567	. . . . . . 7 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
12	11	anidms 480	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
13		mulclpi 6173	. . . . . . 7 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> (z .N w) e. N.)
14		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (z .N w) e. _V
15	14	1qec 6220	. . . . . . . 8 |- ((z .N w) e. N. -> 1Q = [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q )
16		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
17		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18	16, 17	mulcompi 6176	. . . . . . . . . 10 |- (z .N w) = (w .N z)
19	18	opeq2i 3162	. . . . . . . . 9 |- <.(z .N w), (z .N w)>. = <.(z .N w), (w .N z)>.
20		eceq2 5336	. . . . . . . . 9 |- (<.(z .N w), (z .N w)>. = <.(z .N w), (w .N z)>. -> [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q
22	15, 21	syl6eq 1944	. . . . . . 7 |- ((z .N w) e. N. -> 1Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
23	13, 22	syl 12	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> 1Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
24	12, 23	eqtr4d 1928	. . . . 5 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q)
25		enqex 6200	. . . . . . 7 |- ~Q e. _V
26		ecexg 5322	. . . . . . 7 |- ( ~Q e. _V -> [<.w, z>.] ~Q e. _V)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- [<.w, z>.] ~Q e. _V
28		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = [<.w, z>.] ~Q -> ([<.z, w>.] ~Q .Q y) = ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ))
29	28	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- (y = [<.w, z>.] ~Q -> (([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q))
30	27, 29	cla4ev 2371	. . . . 5 |- (([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q -> E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q)
31	24, 30	syl 12	. . . 4 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q)
32	6, 9, 31	ecoptocl 5362	. . 3 |- (x e. Q. -> E.y(x .Q y) = 1Q)
33		eu5 1805	. . . 4 |- (E!y(x .Q y) = 1Q <-> (E.y(x .Q y) = 1Q /\ E*y(x .Q y) = 1Q))
34		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
35		1q 6209	. . . . 5 |- 1Q e. Q.
36		dmmulpq 6213	. . . . 5 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
37		0npq 6202	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
38	16, 17	mulcompq 6216	. . . . 5 |- (z .Q w) = (w .Q z)
39		visset 2295	. . . . . 6 |- v e. _V
40	17, 39	mulasspq 6217	. . . . 5 |- ((z .Q w) .Q v) = (z .Q (w .Q v))
41		mulidpq 6221	. . . . 5 |- (z e. Q. -> (z .Q 1Q) = z)
42	34, 35, 36, 37, 38, 40, 41	caoprmo 5003	. . . 4 |- E*y(x .Q y) = 1Q
43	33, 42	mpbiran2 799	. . 3 |- (E!y(x .Q y) = 1Q <-> E.y(x .Q y) = 1Q)
44	32, 43	sylibr 217	. 2 |- (x e. Q. -> E!y(x .Q y) = 1Q)
45		df-rq 6193	. 2 |- *Q = {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
46	1, 3, 5, 44, 45	fvopab3 4740	1 |- (A e. Q. -> ((*Q` A) = B <-> (A .Q B) = 1Q))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  E*wmo 1772  _Vcvv 2292  <.cop 3046  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135

This theorem is referenced by:  recidpq 6223  recrecpq 6225  reclem3pr 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-rq 6193  df-1q 6195

Copyright terms: Public domain