Theorem recms 16010

Description: The real numbers are a complete metric space.

Assertion

Ref	Expression
recms	|- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet

Proof of Theorem recms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . 6 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
2	1	cnmet 9182	. . . . 5 |- (abs o. - ) e. Met
3	1	cnmetba 9181	. . . . . 6 |- CC = dom dom (abs o. - )
4		eqid 1884	. . . . . 6 |- (Open` (abs o. - )) = (Open` (abs o. - ))
5	3, 4	isopn4 9139	. . . . 5 |- ((abs o. - ) e. Met -> ((CC \ RR) e. (Open` (abs o. - )) <-> ((CC \ RR) C_ CC /\ A.x e. (CC \ RR)E.y e. RR (0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR)))))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((CC \ RR) e. (Open` (abs o. - )) <-> ((CC \ RR) C_ CC /\ A.x e. (CC \ RR)E.y e. RR (0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR))))
7		difss 2735	. . . 4 |- (CC \ RR) C_ CC
8		eldifi 2730	. . . . . . 7 |- (x e. (CC \ RR) -> x e. CC)
9		imcl 8008	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (Im` x) e. RR)
10		recn 6466	. . . . . . . 8 |- ((Im` x) e. RR -> (Im` x) e. CC)
11		abscl 8084	. . . . . . . 8 |- ((Im` x) e. CC -> (abs` (Im` x)) e. RR)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . 7 |- ((Im` x) e. RR -> (abs` (Im` x)) e. RR)
13	8, 9, 12	3syl 24	. . . . . 6 |- (x e. (CC \ RR) -> (abs` (Im` x)) e. RR)
14		ltlen 6692	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (abs` (Im` x)) e. RR) -> (0 < (abs` (Im` x)) <-> (0 <_ (abs` (Im` x)) /\ (abs` (Im` x)) =/= 0)))
15		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
16	14, 15, 13	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (x e. (CC \ RR) -> (0 < (abs` (Im` x)) <-> (0 <_ (abs` (Im` x)) /\ (abs` (Im` x)) =/= 0)))
17	8, 9, 10	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (x e. (CC \ RR) -> (Im` x) e. CC)
18		absge0 8105	. . . . . . . 8 |- ((Im` x) e. CC -> 0 <_ (abs` (Im` x)))
19	17, 18	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. (CC \ RR) -> 0 <_ (abs` (Im` x)))
20		eldifn 2731	. . . . . . . . 9 |- (x e. (CC \ RR) -> -. x e. RR)
21		reim0b 8025	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CC -> (x e. RR <-> (Im` x) = 0))
22	8, 21	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (CC \ RR) -> (x e. RR <-> (Im` x) = 0))
23	22	necon3bbid 2034	. . . . . . . . 9 |- (x e. (CC \ RR) -> (-. x e. RR <-> (Im` x) =/= 0))
24	20, 23	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (x e. (CC \ RR) -> (Im` x) =/= 0)
25		abs00 8104	. . . . . . . . . 10 |- ((Im` x) e. CC -> ((abs` (Im` x)) = 0 <-> (Im` x) = 0))
26	17, 25	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. (CC \ RR) -> ((abs` (Im` x)) = 0 <-> (Im` x) = 0))
27	26	necon3bid 2035	. . . . . . . 8 |- (x e. (CC \ RR) -> ((abs` (Im` x)) =/= 0 <-> (Im` x) =/= 0))
28	24, 27	mpbird 213	. . . . . . 7 |- (x e. (CC \ RR) -> (abs` (Im` x)) =/= 0)
29	16, 19, 28	mpbir2and 802	. . . . . 6 |- (x e. (CC \ RR) -> 0 < (abs` (Im` x)))
30	2	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (CC \ RR) -> (abs o. - ) e. Met)
31	3	blssm 9127	. . . . . . . . . . 11 |- ((((abs o. - ) e. Met /\ x e. CC) /\ ((abs` (Im` x)) e. RR /\ 0 < (abs` (Im` x)))) -> (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ CC)
32	30, 8, 13, 29, 31	syl22anc 1101	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (CC \ RR) -> (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ CC)
33	32	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) -> y e. CC))
34	3	elbl 9115	. . . . . . . . . . 11 |- ((((abs o. - ) e. Met /\ x e. CC) /\ ((abs` (Im` x)) e. RR /\ 0 < (abs` (Im` x)))) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) <-> (y e. CC /\ (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x)))))
35	30, 8, 13, 29, 34	syl22anc 1101	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) <-> (y e. CC /\ (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x)))))
36		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x - y) e. CC)
37		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. RR -> y e. CC)
38	36, 8, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (x - y) e. CC)
39		recl 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x - y) e. CC -> (Re` (x - y)) e. RR)
40		sqge0 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((Re` (x - y)) e. RR -> 0 <_ ((Re` (x - y))^2))
41	38, 39, 40	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> 0 <_ ((Re` (x - y))^2))
42	8, 9	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. (CC \ RR) -> (Im` x) e. RR)
43	42	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (Im` x) e. RR)
44		resqcl 7866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Im` x) e. RR -> ((Im` x)^2) e. RR)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Im` x)^2) e. RR)
46		resqcl 7866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Re` (x - y)) e. RR -> ((Re` (x - y))^2) e. RR)
47	38, 39, 46	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Re` (x - y))^2) e. RR)
48		addge02 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((Im` x)^2) e. RR /\ ((Re` (x - y))^2) e. RR) -> (0 <_ ((Re` (x - y))^2) <-> ((Im` x)^2) <_ (((Re` (x - y))^2) + ((Im` x)^2))))
49	45, 47, 48	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (0 <_ ((Re` (x - y))^2) <-> ((Im` x)^2) <_ (((Re` (x - y))^2) + ((Im` x)^2))))
50	41, 49	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Im` x)^2) <_ (((Re` (x - y))^2) + ((Im` x)^2)))
51		absresq 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((Im` x) e. RR -> ((abs` (Im` x))^2) = ((Im` x)^2))
52	43, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x))^2) = ((Im` x)^2))
53		absvalsq2 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x - y) e. CC -> ((abs` (x - y))^2) = (((Re` (x - y))^2) + ((Im` (x - y))^2)))
54	38, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (x - y))^2) = (((Re` (x - y))^2) + ((Im` (x - y))^2)))
55		imsub 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (Im` (x - y)) = ((Im` x) - (Im` y)))
56	55, 8, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (Im` (x - y)) = ((Im` x) - (Im` y)))
57		reim0 8024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. RR -> (Im` y) = 0)
58	57	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (Im` y) = 0)
59	58	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Im` x) - (Im` y)) = ((Im` x) - 0))
60	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (Im` x) e. CC)
61		subid1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((Im` x) e. CC -> ((Im` x) - 0) = (Im` x))
62	60, 61	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Im` x) - 0) = (Im` x))
63	56, 59, 62	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (Im` (x - y)) = (Im` x))
64	63	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((Im` (x - y))^2) = ((Im` x)^2))
65	64	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (((Re` (x - y))^2) + ((Im` (x - y))^2)) = (((Re` (x - y))^2) + ((Im` x)^2)))
66	54, 65	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (x - y))^2) = (((Re` (x - y))^2) + ((Im` x)^2)))
67	50, 52, 66	3brtr4d 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x))^2) <_ ((abs` (x - y))^2))
68	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (abs` (Im` x)) e. RR)
69	19	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> 0 <_ (abs` (Im` x)))
70		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x - y) e. CC -> (abs` (x - y)) e. RR)
71	38, 70	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (abs` (x - y)) e. RR)
72		absge0 8105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x - y) e. CC -> 0 <_ (abs` (x - y)))
73	38, 72	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> 0 <_ (abs` (x - y)))
74		le2sq 7876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((abs` (Im` x)) e. RR /\ 0 <_ (abs` (Im` x))) /\ ((abs` (x - y)) e. RR /\ 0 <_ (abs` (x - y)))) -> ((abs` (Im` x)) <_ (abs` (x - y)) <-> ((abs` (Im` x))^2) <_ ((abs` (x - y))^2)))
75	68, 69, 71, 73, 74	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x)) <_ (abs` (x - y)) <-> ((abs` (Im` x))^2) <_ ((abs` (x - y))^2)))
76	67, 75	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (abs` (Im` x)) <_ (abs` (x - y)))
77	1	cnmetdval 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x(abs o. - )y) = (abs` (x - y)))
78	77, 8, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (x(abs o. - )y) = (abs` (x - y)))
79	78	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x)) <_ (x(abs o. - )y) <-> (abs` (Im` x)) <_ (abs` (x - y))))
80	2	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (abs o. - ) e. Met)
81	8	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> x e. CC)
82	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> y e. CC)
83	3	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((abs o. - ) e. Met /\ x e. CC /\ y e. CC) -> (x(abs o. - )y) e. RR)
84	80, 81, 82, 83	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> (x(abs o. - )y) e. RR)
85		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((abs` (Im` x)) e. RR /\ (x(abs o. - )y) e. RR) -> ((abs` (Im` x)) <_ (x(abs o. - )y) <-> -. (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x))))
86	68, 84, 85	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x)) <_ (x(abs o. - )y) <-> -. (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x))))
87	79, 86	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> ((abs` (Im` x)) <_ (abs` (x - y)) <-> -. (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x))))
88	76, 87	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. (CC \ RR) /\ y e. RR) -> -. (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x)))
89	88	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. RR -> -. (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x))))
90	89	con2d 107	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (CC \ RR) -> ((x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x)) -> -. y e. RR))
91	90	adantld 426	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (CC \ RR) -> ((y e. CC /\ (x(abs o. - )y) < (abs` (Im` x))) -> -. y e. RR))
92	35, 91	sylbid 220	. . . . . . . . 9 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) -> -. y e. RR))
93	33, 92	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) -> (y e. CC /\ -. y e. RR)))
94		eldif 2609	. . . . . . . 8 |- (y e. (CC \ RR) <-> (y e. CC /\ -. y e. RR))
95	93, 94	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- (x e. (CC \ RR) -> (y e. (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) -> y e. (CC \ RR)))
96	95	ssrdv 2622	. . . . . 6 |- (x e. (CC \ RR) -> (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ (CC \ RR))
97		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (y = (abs` (Im` x)) -> (0 < y <-> 0 < (abs` (Im` x))))
98		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (y = (abs` (Im` x)) -> (x( ball ` (abs o. - ))y) = (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))))
99	98	sseq1d 2644	. . . . . . . 8 |- (y = (abs` (Im` x)) -> ((x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR) <-> (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ (CC \ RR)))
100	97, 99	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (y = (abs` (Im` x)) -> ((0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR)) <-> (0 < (abs` (Im` x)) /\ (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ (CC \ RR))))
101	100	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((abs` (Im` x)) e. RR /\ (0 < (abs` (Im` x)) /\ (x( ball ` (abs o. - ))(abs` (Im` x))) C_ (CC \ RR))) -> E.y e. RR (0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR)))
102	13, 29, 96, 101	syl12anc 1098	. . . . 5 |- (x e. (CC \ RR) -> E.y e. RR (0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR)))
103	102	rgen 2159	. . . 4 |- A.x e. (CC \ RR)E.y e. RR (0 < y /\ (x( ball ` (abs o. - ))y) C_ (CC \ RR))
104	6, 7, 103	mpbir2an 800	. . 3 |- (CC \ RR) e. (Open` (abs o. - ))
105	4	opntop 9147	. . . . 5 |- ((abs o. - ) e. Met -> (Open` (abs o. - )) e. Top)
106	2, 105	ax-mp 7	. . . 4 |- (Open` (abs o. - )) e. Top
107		axresscn 6420	. . . 4 |- RR C_ CC
108	3, 4	uniopn2 9138	. . . . . . 7 |- ((abs o. - ) e. Met -> U.(Open` (abs o. - )) = CC)
109	108	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) e. Met -> CC = U.(Open` (abs o. - )))
110	2, 109	ax-mp 7	. . . . 5 |- CC = U.(Open` (abs o. - ))
111	110	iscld2 8946	. . . 4 |- (((Open` (abs o. - )) e. Top /\ RR C_ CC) -> (RR e. (Clsd` (Open` (abs o. - ))) <-> (CC \ RR) e. (Open` (abs o. - ))))
112	106, 107, 111	mp2an 761	. . 3 |- (RR e. (Clsd` (Open` (abs o. - ))) <-> (CC \ RR) e. (Open` (abs o. - )))
113	104, 112	mpbir 207	. 2 |- RR e. (Clsd` (Open` (abs o. - )))
114	1	cncms 9276	. . 3 |- (abs o. - ) e. CMet
115	3, 4	cmsss 9275	. . 3 |- (((abs o. - ) e. CMet /\ RR C_ CC) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet <-> RR e. (Clsd` (Open` (abs o. - )))))
116	114, 107, 115	mp2an 761	. 2 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet <-> RR e. (Clsd` (Open` (abs o. - ))))
117	113, 116	mpbir 207	1 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069  CMetcms 9199

This theorem is referenced by:  rrncms 16019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202

Copyright terms: Public domain