Theorem reclem4pr 8883

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
2	1	reclem2pr 8881	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> B e. P. )
3		df-mp 8817	. . . . . . 7 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
4		mulclnq 8780	. . . . . . 7 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
5	3, 4	genpelv 8833	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
6	2, 5	mpdan 650	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
7	1	abeq2i 2511	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
8		ltrelnq 8759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 4885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x <Q y -> ( x e. Q. /\ y e. Q. ) )
10	9	simprd 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x <Q y -> y e. Q. )
11		elprnq 8824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. )
12		ltmnq 8805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. Q. -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
14	13	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
15	14	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
16		recclnq 8799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
17		prub 8827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
18	16, 17	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
19		ltmnq 8805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) )
20		mulcomnq 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y .Q z ) = ( z .Q y )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
22		recidnq 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
23	21, 22	breq12d 4185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
24	19, 23	bitrd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
25	24	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
26	18, 25	sylibd 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
27	15, 26	anim12d 547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) ) )
28		ltsonq 8802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
29	28, 8	sotri 5220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q )
30	27, 29	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
31	30	exp4b 591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( y e. Q. -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
32	10, 31	syl5 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
33	32	pm2.43d 46	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) )
34	33	imp3a 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
35	34	exlimdv 1643	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
36	7, 35	syl5bi 209	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
37		breq1 4175	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( z .Q x ) -> ( w <Q 1Q <-> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
38	37	biimprcd 217	. . . . . . . 8 |- ( ( z .Q x ) <Q 1Q -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
39	36, 38	syl6 31	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
40	39	expimpd 587	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( ( z e. A /\ x e. B ) -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
41	40	rexlimdvv 2796	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
42	6, 41	sylbid 207	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w <Q 1Q ) )
43		df-1p 8815	. . . . 5 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
44	43	abeq2i 2511	. . . 4 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
45	42, 44	syl6ibr 219	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w e. 1P ) )
46	45	ssrdv 3314	. 2 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) C_ 1P )
47	1	reclem3pr 8882	. 2 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )
48	46, 47	eqssd 3325	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683   1Qc1q 8684   .Q cmq 8687   *Qcrq 8688   <Q cltq 8689   P.cnp 8690   1Pc1p 8691   .P. cmp 8693

This theorem is referenced by:  recexpr  8884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-1p 8815  df-mp 8817