Theorem reclem4pr 9306

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
2	1	reclem2pr 9304	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> B e. P. )
3		df-mp 9240	. . . . . . 7 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
4		mulclnq 9203	. . . . . . 7 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
5	3, 4	genpelv 9256	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
6	2, 5	mpdan 668	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
7	1	abeq2i 2575	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
8		ltrelnq 9182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 4971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x <Q y -> ( x e. Q. /\ y e. Q. ) )
10	9	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x <Q y -> y e. Q. )
11		elprnq 9247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> z e. Q. )
12		ltmnq 9228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. Q. -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y <-> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
14	13	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y -> ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) ) )
16		recclnq 9222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
17		prub 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
18	16, 17	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> z <Q ( *Q ` y ) ) )
19		ltmnq 9228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) )
20		mulcomnq 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y .Q z ) = ( z .Q y )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
22		recidnq 9221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
23	21, 22	breq12d 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. Q. -> ( ( y .Q z ) <Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
24	19, 23	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
25	24	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( z <Q ( *Q ` y ) <-> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
26	18, 25	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q y ) <Q 1Q ) )
27	15, 26	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) ) )
28		ltsonq 9225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
29	28, 8	sotri 5309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z .Q x ) <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q 1Q ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q )
30	27, 29	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
31	30	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( y e. Q. -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
32	10, 31	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) ) )
33	32	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x <Q y -> ( -. ( *Q ` y ) e. A -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) ) )
34	33	impd 431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
35	34	exlimdv 1691	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
36	7, 35	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
37		breq1 4379	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( z .Q x ) -> ( w <Q 1Q <-> ( z .Q x ) <Q 1Q ) )
38	37	biimprcd 225	. . . . . . . 8 |- ( ( z .Q x ) <Q 1Q -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
39	36, 38	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( x e. B -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
40	39	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( ( z e. A /\ x e. B ) -> ( w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) ) )
41	40	rexlimdvv 2929	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) -> w <Q 1Q ) )
42	6, 41	sylbid 215	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w <Q 1Q ) )
43		df-1p 9238	. . . . 5 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
44	43	abeq2i 2575	. . . 4 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
45	42, 44	syl6ibr 227	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) -> w e. 1P ) )
46	45	ssrdv 3446	. 2 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) C_ 1P )
47	1	reclem3pr 9305	. 2 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )
48	46, 47	eqssd 3457	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1757   {cab 2435   E.wrex 2793   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Q.cnq 9106   1Qc1q 9107   .Q cmq 9110   *Qcrq 9111   <Q cltq 9112   P.cnp 9113   1Pc1p 9114   .P. cmp 9116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-ni 9128  df-pli 9129  df-mi 9130  df-lti 9131  df-plpq 9164  df-mpq 9165  df-ltpq 9166  df-enq 9167  df-nq 9168  df-erq 9169  df-plq 9170  df-mq 9171  df-1nq 9172  df-rq 9173  df-ltnq 9174  df-np 9237  df-1p 9238  df-mp 9240

This theorem is referenced by:  recexpr  9307