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Theorem reclem4pr 9306
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem4pr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem4pr
Dummy variables  z  w  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
21reclem2pr 9304 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
3 df-mp 9240 . . . . . . 7  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
4 mulclnq 9203 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 9256 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
62, 5mpdan 668 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
71abeq2i 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
8 ltrelnq 9182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
98brel 4971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
109simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
<Q  y  ->  y  e. 
Q. )
11 elprnq 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
12 ltmnq 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x ) 
<Q  ( z  .Q  y
) ) )
1413biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y ) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
16 recclnq 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
17 prub 9250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
1816, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
19 ltmnq 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( y  .Q  z )  <Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) ) )
20 mulcomnq 9209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
22 recidnq 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
2321, 22breq12d 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( y  .Q  z
)  <Q  ( y  .Q  ( *Q `  y
) )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2419, 23bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q 
( *Q `  y
)  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2618, 25sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2715, 26anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q ) ) )
28 ltsonq 9225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
2928, 8sotri 5309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q )
3027, 29syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3130exp4b 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  Q.  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3210, 31syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3332pm2.43d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) )
3433impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3534exlimdv 1691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
367, 35syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  1Q ) )
37 breq1 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  (
w  <Q  1Q  <->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
3837biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  .Q  x ) 
<Q  1Q  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
3936, 38syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4039expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( z  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4140rexlimdvv 2929 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
426, 41sylbid 215 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  <Q  1Q ) )
43 df-1p 9238 . . . . 5  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
4443abeq2i 2575 . . . 4  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
4542, 44syl6ibr 227 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  e.  1P )
)
4645ssrdv 3446 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  C_  1P )
471reclem3pr 9305 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
4846, 47eqssd 3457 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1757   {cab 2435   E.wrex 2793   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Q.cnq 9106   1Qc1q 9107    .Q cmq 9110   *Qcrq 9111    <Q cltq 9112   P.cnp 9113   1Pc1p 9114    .P. cmp 9116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-ni 9128  df-pli 9129  df-mi 9130  df-lti 9131  df-plpq 9164  df-mpq 9165  df-ltpq 9166  df-enq 9167  df-nq 9168  df-erq 9169  df-plq 9170  df-mq 9171  df-1nq 9172  df-rq 9173  df-ltnq 9174  df-np 9237  df-1p 9238  df-mp 9240
This theorem is referenced by:  recexpr  9307
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