Theorem reclem4pr 6311

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
2	1	reclem2pr 6309	. . . . . 6 |- (A e. P. -> B e. P.)
3		df-mp 6241	. . . . . . 7 |- .P. = {<.<.y, w>., v>. | ((y e. P. /\ w e. P.) /\ v = {u | E.f e. y E.g e. w u = (f .Q g)})}
4		visset 2295	. . . . . . 7 |- w e. _V
5	3, 4	genpelv 6255	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
6	2, 5	mpdan 768	. . . . 5 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
7		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> z e. Q.)
8		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
9		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
10	8, 9	ltmpq 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
11	7, 10	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
12	11	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
14		prub 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ (*Q` y) e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
15		recclpq 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
16	14, 15	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
17		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
18		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (*Q` y) e. _V
19	17, 18	ltmpq 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y))))
20	9, 17	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y .Q z) = (z .Q y)
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q z) = (z .Q y))
22		recidpq 6223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> ((y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y)) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> ((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q x) e. _V
29		ltsopq 6227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q Or Q.
30		ltrelpq 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
31		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q y) e. _V
32		1q 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1Q e. Q.
33	32	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. _V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 4315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q) -> (z .Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (y e. Q. -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x <Q y -> (x e. Q. /\ y e. Q.))
38	37	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x <Q y -> y e. Q.)
39	36, 38	syl5 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 79	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 1584	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
43	1	abeq2i 2001	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B <-> E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
44	42, 43	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (z .Q x) <Q 1Q))
45		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (w = (z .Q x) -> (w <Q 1Q <-> (z .Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 173	. . . . . . . . 9 |- ((z .Q x) <Q 1Q -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q)))
48	47	ex 402	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (z e. A -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 393	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 1676	. . . . 5 |- (A e. P. -> (E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 220	. . . 4 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w <Q 1Q))
52		df-1p 6239	. . . . 5 |- 1P = {w | w <Q 1Q}
53	52	abeq2i 2001	. . . 4 |- (w e. 1P <-> w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 230	. . 3 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w e. 1P))
55	54	ssrdv 2622	. 2 |- (A e. P. -> (A .P. B) C_ 1P)
56	1	reclem3pr 6310	. 2 |- (A e. P. -> 1P C_ (A .P. B))
57	55, 56	eqssd 2633	1 |- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135   <Q cltq 6136  P.cnp 6137  1Pc1p 6138   .P. cmp 6140

This theorem is referenced by:  recexpr 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-mp 6241

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