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Theorem reclem2pr 9422
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem2pr  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9364 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C. 
Q. )
2 pssnel 3892 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  A
) )
3 recclnq 9340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
4 nsmallnq 9351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
7 recrecnq 9341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  =  x )
87eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
98notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  -.  x  e.  A ) )
109anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A )  <->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  /\  -.  x  e.  A ) ) )
11 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
12 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
z  <Q  y  <->  z  <Q  ( *Q `  x ) ) )
13 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  ( *Q `  x ) ) )
1413eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  x
) )  e.  A
) )
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
( *Q `  x
)  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) ) )
1711, 16spcev 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q
`  x ) )  e.  A )  ->  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
1810, 17syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
20 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  y  <->  z  <Q  y ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
2221exbidv 1690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
2419, 22, 23elab2 3253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
2518, 24syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  z  e.  B ) )
2625expcomd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  ->  z  e.  B ) )
2827eximdv 1686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( E. z  z  <Q  ( *Q
`  x )  ->  E. z  z  e.  B ) )
296, 28mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  e.  B )
30 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  B  =/=  (/) )
3231exlimiv 1698 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
331, 2, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  B  =/=  (/) )
34 0pss 3864 . . . . 5  |-  ( (/)  C.  B  <->  B  =/=  (/) )
3533, 34sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (/)  C.  B
)
36 prn0 9363 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
37 elprnq 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
38 recrecnq 9341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  =  z )
3938eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A  <->  z  e.  A ) )
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A )  <->  ( A  e.  P.  /\  z  e.  A ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A ) ) )
42 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
43 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  ( *Q `  x )  =  ( *Q `  ( *Q `  z ) ) )
4443eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( *Q `  x
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
) )
4544anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A )  <-> 
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A ) ) )
4642, 45spcev 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q
`  z ) )  e.  A )  ->  E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
) )
4741, 46syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A ) ) )
4847pm2.43i 47 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A ) )
49 elprnq 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( *Q `  x
)  e.  Q. )
50 dmrecnq 9342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  *Q  =  Q.
51 0nnq 9298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  (/)  e.  Q.
5250, 51ndmfvrcl 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
5349, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
54 ltrnq 9353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
<Q  y  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x ) )
55 prcdnq 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x )  -> 
( *Q `  y
)  e.  A ) )
5654, 55syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
5756alrimiv 1695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
) )
5823abeq2i 2594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
59 exanali 1647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6058, 59bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6160con2bii 332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  -.  x  e.  B )
6257, 61sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  -.  x  e.  B
)
6353, 62jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6463eximi 1635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6548, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
)
6665ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  (
z  e.  A  ->  E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  B ) ) )
6766exlimdv 1700 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
) )
68 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
69 nss 3562 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
Q.  C_  B  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
7067, 68, 693imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  -.  Q.  C_  B ) )
7136, 70mpd 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  Q.  C_  B )
72 ltrelnq 9300 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7372brel 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
<Q  y  ->  x  e. 
Q. )
7574adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7675exlimiv 1698 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7758, 76sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  Q. )
7877ssriv 3508 . . . . . 6  |-  B  C_  Q.
7971, 78jctil 537 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
80 dfpss3 3590 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  <->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
8179, 80sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  B  C. 
Q. )
8235, 81jca 532 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. ) )
83 ltsonq 9343 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  Or  Q.
8483, 72sotri 5392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  <Q  x  /\  x  <Q  y )  -> 
z  <Q  y )
8584ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x 
<Q  y  ->  z  <Q 
y ) )
8685anim1d 564 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
8786eximdv 1686 . . . . . . . 8  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
8887, 58, 243imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x  e.  B  ->  z  e.  B ) )
8988com12 31 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
9089alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. z
( z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
91 nfe1 1789 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )
9291nfab 2633 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
9323, 92nfcxfr 2627 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
94 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <Q  z
9593, 94nfrex 2927 . . . . . . 7  |-  F/ y E. z  e.  B  x  <Q  z
96 19.8a 1806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
9796, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  z  e.  B
)
9897adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  z  e.  B )
99 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  <Q  z )
10098, 99jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
101100expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y
)  ->  ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
102101eximdv 1686 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( E. z ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  ->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
103 ltbtwnnq 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
<Q  y  <->  E. z ( x 
<Q  z  /\  z  <Q  y ) )
104 df-rex 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  x 
<Q  z  <->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
105102, 103, 1043imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( x  <Q  y  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
106105impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10795, 106exlimi 1859 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10858, 107sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10990, 108jca 532 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
110109rgen 2824 . . 3  |-  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z )
11182, 110jctir 538 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  B )  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
112 elnp 9361 . 2  |-  ( B  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
113111, 112sylibr 212 1  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   Q.cnq 9226   *Qcrq 9231    <Q cltq 9232   P.cnp 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-pli 9247  df-mi 9248  df-lti 9249  df-plpq 9282  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-plq 9288  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-rq 9291  df-ltnq 9292  df-np 9355
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9423  reclem4pr  9424  recexpr  9425
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