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Theorem recld2 21051
Description: The real numbers are a closed set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
recld2  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem recld2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3631 . . 3  |-  ( CC 
\  RR )  C_  CC
2 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  x  e.  CC )
32imcld 12985 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  RR )
43recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  CC )
5 eldifn 3627 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  -.  x  e.  RR )
6 reim0b 12909 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
72, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
87necon3bbid 2714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =/=  0
) )
95, 8mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  =/=  0 )
104, 9absrpcld 13235 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR+ )
11 cnxmet 21012 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
134abscld 13223 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR )
1413rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR* )
15 elbl 20623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  ( abs `  ( Im `  x ) )  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
1612, 2, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
17 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  CC )
182adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
2019recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
2118, 20imsubd 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( ( Im `  x )  -  ( Im `  y ) ) )
22 reim0 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Im `  y )  =  0 )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  y
)  =  0 )
2423oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  (
Im `  y )
)  =  ( ( Im `  x )  -  0 ) )
254adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  x
)  e.  CC )
2625subid1d 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  0 )  =  ( Im
`  x ) )
2721, 24, 263eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( Im
`  x ) )
2827fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
2918, 20subcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
30 absimle 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( x  -  y
) ) )  <_ 
( abs `  (
x  -  y ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3228, 31eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3325abscld 13223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
3429abscld 13223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR )
3533, 34lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) )  <->  -.  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) )
3632, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3837cnmetdval 21010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3918, 20, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
4039breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) ) )
4136, 40mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  -.  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )
4342con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  ) y )  <  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  -.  y  e.  RR ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  ->  -.  y  e.  RR ) )
4544impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  -.  y  e.  RR )
4617, 45eldifd 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) )
4746ex 434 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  RR ) ) )
4816, 47sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) ) )
4948ssrdv 3510 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )
50 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  =  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) ) )
5150sseq1d 3531 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR )  <->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  C_  ( CC  \  RR ) ) )
5251rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR+  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) )
5310, 49, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR ) )
5453rgen 2824 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR )
55 recld2.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
5655cnfldtopn 21021 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
5756elmopn2 20680 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( ( CC  \  RR )  e.  J  <->  ( ( CC  \  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) ) )
5811, 57ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( CC  \  RR )  e.  J  <->  ( ( CC  \  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) )
591, 54, 58mpbir2an 918 . 2  |-  ( CC 
\  RR )  e.  J
6055cnfldtop 21023 . . 3  |-  J  e. 
Top
61 ax-resscn 9545 . . 3  |-  RR  C_  CC
6256mopnuni 20676 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  CC  =  U. J )
6311, 62ax-mp 5 . . . 4  |-  CC  =  U. J
6463iscld2 19292 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  RR  C_  CC )  -> 
( RR  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( CC  \  RR )  e.  J ) )
6560, 61, 64mp2an 672 . 2  |-  ( RR  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( CC  \  RR )  e.  J
)
6659, 65mpbir 209 1  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   RR+crp 11216   Imcim 12888   abscabs 13024   TopOpenctopn 14670   *Metcxmt 18171   ballcbl 18173  ℂfldccnfld 18188   Topctop 19158   Clsdccld 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-rest 14671  df-topn 14672  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-xms 20555  df-ms 20556
This theorem is referenced by:  zcld2  21052  rellycmp  21189  recmet  21494  ishl2  21542  recms  21544  logdmopn  22755  dvtanlem  29639  dvasin  29678  dvacos  29679  dvreasin  29680  dvreacos  29681
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