MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 13001
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 12917 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   ` cfv 5574   CCcc 9488   RRcr 9489   Recre 12904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-2 10595  df-cj 12906  df-re 12907
This theorem is referenced by:  abstri  13137  sqreulem  13166  eqsqrt2d  13175  rlimrege0  13376  recoscl  13748  cos01bnd  13793  cnsubrg  18346  mbfeqa  21916  mbfss  21919  mbfmulc2re  21921  mbfadd  21934  mbfmulc2  21936  mbflim  21941  mbfmul  21999  iblcn  22071  itgcnval  22072  itgre  22073  itgim  22074  iblneg  22075  itgneg  22076  iblss  22077  itgeqa  22086  iblconst  22090  ibladd  22093  itgadd  22097  iblabs  22101  iblabsr  22102  iblmulc2  22103  itgmulc2  22106  itgabs  22107  itgsplit  22108  dvlip  22260  tanregt0  22791  efif1olem4  22797  eff1olem  22800  lognegb  22839  relog  22846  efiarg  22857  cosarg0d  22859  argregt0  22860  argrege0  22861  abslogle  22868  logcnlem4  22891  cxpsqrtlem  22948  cxpcn3lem  22986  abscxpbnd  22992  cosangneg2d  23004  angrtmuld  23005  lawcoslem1  23012  isosctrlem1  23017  asinlem3a  23066  asinlem3  23067  asinneg  23082  asinsinlem  23087  asinsin  23088  acosbnd  23096  atanlogaddlem  23109  atanlogadd  23110  atanlogsublem  23111  atanlogsub  23112  atantan  23119  o1cxp  23169  cxploglim2  23173  sqsscirc2  27757  zetacvg  28423  lgamgulmlem2  28438  ibladdnc  30040  itgaddnc  30043  iblabsnc  30047  iblmulc2nc  30048  itgmulc2nc  30051  itgabsnc  30052  bddiblnc  30053  ftc1anclem2  30059  ftc1anclem5  30062  ftc1anclem6  30063  ftc1anclem8  30065  cntotbnd  30260  iblsplit  31651  isosctrlem1ALT  33442
  Copyright terms: Public domain W3C validator