MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 12977
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 12893 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5579   CCcc 9479   RRcr 9480   Recre 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-cj 12882  df-re 12883
This theorem is referenced by:  abstri  13112  sqreulem  13141  eqsqr2d  13150  rlimrege0  13351  recoscl  13726  cos01bnd  13771  cnsubrg  18239  mbfeqa  21778  mbfss  21781  mbfmulc2re  21783  mbfadd  21796  mbfmulc2  21798  mbflim  21803  mbfmul  21861  iblcn  21933  itgcnval  21934  itgre  21935  itgim  21936  iblneg  21937  itgneg  21938  iblss  21939  itgeqa  21948  iblconst  21952  ibladd  21955  itgadd  21959  iblabs  21963  iblabsr  21964  iblmulc2  21965  itgmulc2  21968  itgabs  21969  itgsplit  21970  dvlip  22122  tanregt0  22652  efif1olem4  22658  eff1olem  22661  lognegb  22695  relog  22702  efiarg  22713  cosarg0d  22715  argregt0  22716  argrege0  22717  abslogle  22724  logcnlem4  22747  cxpsqrlem  22804  cxpcn3lem  22842  abscxpbnd  22848  cosangneg2d  22860  angrtmuld  22861  lawcoslem1  22868  isosctrlem1  22873  asinlem3a  22922  asinlem3  22923  asinneg  22938  asinsinlem  22943  asinsin  22944  acosbnd  22952  atanlogaddlem  22965  atanlogadd  22966  atanlogsublem  22967  atanlogsub  22968  atantan  22975  o1cxp  23025  cxploglim2  23029  sqsscirc2  27513  zetacvg  28183  lgamgulmlem2  28198  ibladdnc  29636  itgaddnc  29639  iblabsnc  29643  iblmulc2nc  29644  itgmulc2nc  29647  itgabsnc  29648  bddiblnc  29649  ftc1anclem2  29655  ftc1anclem5  29658  ftc1anclem6  29659  ftc1anclem8  29661  cntotbnd  29882  iblsplit  31239  isosctrlem1ALT  32689
  Copyright terms: Public domain W3C validator