MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Unicode version

Theorem recld 11954
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 11870 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413   CCcc 8944   RRcr 8945   Recre 11857
This theorem is referenced by:  abstri  12089  sqreulem  12118  eqsqr2d  12127  rlimrege0  12328  recoscl  12697  cos01bnd  12742  cnsubrg  16714  mbfeqa  19488  mbfss  19491  mbfmulc2re  19493  mbfadd  19506  mbfmulc2  19508  mbflim  19513  mbfmul  19571  iblcn  19643  itgcnval  19644  itgre  19645  itgim  19646  iblneg  19647  itgneg  19648  iblss  19649  itgeqa  19658  iblconst  19662  ibladd  19665  itgadd  19669  iblabs  19673  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgmulc2  19678  itgabs  19679  itgsplit  19680  dvlip  19830  tanregt0  20394  efif1olem4  20400  eff1olem  20403  lognegb  20437  relog  20444  efiarg  20455  cosarg0d  20457  argregt0  20458  argrege0  20459  abslogle  20466  logcnlem4  20489  cxpsqrlem  20546  cxpcn3lem  20584  abscxpbnd  20590  cosangneg2d  20602  angrtmuld  20603  lawcoslem1  20610  isosctrlem1  20615  asinlem3a  20663  asinlem3  20664  asinneg  20679  asinsinlem  20684  asinsin  20685  acosbnd  20693  atanlogaddlem  20706  atanlogadd  20707  atanlogsublem  20708  atanlogsub  20709  atantan  20716  o1cxp  20766  cxploglim2  20770  sqsscirc2  24260  zetacvg  24752  lgamgulmlem2  24767  ibladdnc  26161  itgaddnc  26164  iblabsnc  26168  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nc  26172  itgabsnc  26173  bddiblnc  26174  cntotbnd  26395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860
  Copyright terms: Public domain W3C validator