MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 12802
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 12718 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5527   CCcc 9392   RRcr 9393   Recre 12705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-2 10492  df-cj 12707  df-re 12708
This theorem is referenced by:  abstri  12937  sqreulem  12966  eqsqr2d  12975  rlimrege0  13176  recoscl  13544  cos01bnd  13589  cnsubrg  17999  mbfeqa  21255  mbfss  21258  mbfmulc2re  21260  mbfadd  21273  mbfmulc2  21275  mbflim  21280  mbfmul  21338  iblcn  21410  itgcnval  21411  itgre  21412  itgim  21413  iblneg  21414  itgneg  21415  iblss  21416  itgeqa  21425  iblconst  21429  ibladd  21432  itgadd  21436  iblabs  21440  iblabsr  21441  iblmulc2  21442  itgmulc2  21445  itgabs  21446  itgsplit  21447  dvlip  21599  tanregt0  22129  efif1olem4  22135  eff1olem  22138  lognegb  22172  relog  22179  efiarg  22190  cosarg0d  22192  argregt0  22193  argrege0  22194  abslogle  22201  logcnlem4  22224  cxpsqrlem  22281  cxpcn3lem  22319  abscxpbnd  22325  cosangneg2d  22337  angrtmuld  22338  lawcoslem1  22345  isosctrlem1  22350  asinlem3a  22399  asinlem3  22400  asinneg  22415  asinsinlem  22420  asinsin  22421  acosbnd  22429  atanlogaddlem  22442  atanlogadd  22443  atanlogsublem  22444  atanlogsub  22445  atantan  22452  o1cxp  22502  cxploglim2  22506  sqsscirc2  26485  zetacvg  27146  lgamgulmlem2  27161  ibladdnc  28598  itgaddnc  28601  iblabsnc  28605  iblmulc2nc  28606  itgmulc2nc  28609  itgabsnc  28610  bddiblnc  28611  ftc1anclem2  28617  ftc1anclem5  28620  ftc1anclem6  28621  ftc1anclem8  28623  cntotbnd  28844  isosctrlem1ALT  32003
  Copyright terms: Public domain W3C validator