MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 12675
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 12591 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5413   CCcc 9272   RRcr 9273   Recre 12578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-2 10372  df-cj 12580  df-re 12581
This theorem is referenced by:  abstri  12810  sqreulem  12839  eqsqr2d  12848  rlimrege0  13049  recoscl  13417  cos01bnd  13462  cnsubrg  17848  mbfeqa  21096  mbfss  21099  mbfmulc2re  21101  mbfadd  21114  mbfmulc2  21116  mbflim  21121  mbfmul  21179  iblcn  21251  itgcnval  21252  itgre  21253  itgim  21254  iblneg  21255  itgneg  21256  iblss  21257  itgeqa  21266  iblconst  21270  ibladd  21273  itgadd  21277  iblabs  21281  iblabsr  21282  iblmulc2  21283  itgmulc2  21286  itgabs  21287  itgsplit  21288  dvlip  21440  tanregt0  21970  efif1olem4  21976  eff1olem  21979  lognegb  22013  relog  22020  efiarg  22031  cosarg0d  22033  argregt0  22034  argrege0  22035  abslogle  22042  logcnlem4  22065  cxpsqrlem  22122  cxpcn3lem  22160  abscxpbnd  22166  cosangneg2d  22178  angrtmuld  22179  lawcoslem1  22186  isosctrlem1  22191  asinlem3a  22240  asinlem3  22241  asinneg  22256  asinsinlem  22261  asinsin  22262  acosbnd  22270  atanlogaddlem  22283  atanlogadd  22284  atanlogsublem  22285  atanlogsub  22286  atantan  22293  o1cxp  22343  cxploglim2  22347  sqsscirc2  26291  zetacvg  26953  lgamgulmlem2  26968  ibladdnc  28402  itgaddnc  28405  iblabsnc  28409  iblmulc2nc  28410  itgmulc2nc  28413  itgabsnc  28414  bddiblnc  28415  ftc1anclem2  28421  ftc1anclem5  28424  ftc1anclem6  28425  ftc1anclem8  28427  cntotbnd  28648  isosctrlem1ALT  31557
  Copyright terms: Public domain W3C validator