MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 12669
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 12585 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1757   ` cfv 5408   CCcc 9270   RRcr 9271   Recre 12572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-op 3874  df-uni 4082  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-2 10370  df-cj 12574  df-re 12575
This theorem is referenced by:  abstri  12804  sqreulem  12833  eqsqr2d  12842  rlimrege0  13043  recoscl  13410  cos01bnd  13455  cnsubrg  17719  mbfeqa  20965  mbfss  20968  mbfmulc2re  20970  mbfadd  20983  mbfmulc2  20985  mbflim  20990  mbfmul  21048  iblcn  21120  itgcnval  21121  itgre  21122  itgim  21123  iblneg  21124  itgneg  21125  iblss  21126  itgeqa  21135  iblconst  21139  ibladd  21142  itgadd  21146  iblabs  21150  iblabsr  21151  iblmulc2  21152  itgmulc2  21155  itgabs  21156  itgsplit  21157  dvlip  21309  tanregt0  21882  efif1olem4  21888  eff1olem  21891  lognegb  21925  relog  21932  efiarg  21943  cosarg0d  21945  argregt0  21946  argrege0  21947  abslogle  21954  logcnlem4  21977  cxpsqrlem  22034  cxpcn3lem  22072  abscxpbnd  22078  cosangneg2d  22090  angrtmuld  22091  lawcoslem1  22098  isosctrlem1  22103  asinlem3a  22152  asinlem3  22153  asinneg  22168  asinsinlem  22173  asinsin  22174  acosbnd  22182  atanlogaddlem  22195  atanlogadd  22196  atanlogsublem  22197  atanlogsub  22198  atantan  22205  o1cxp  22255  cxploglim2  22259  sqsscirc2  26195  zetacvg  26851  lgamgulmlem2  26866  ibladdnc  28295  itgaddnc  28298  iblabsnc  28302  iblmulc2nc  28303  itgmulc2nc  28306  itgabsnc  28307  bddiblnc  28308  ftc1anclem2  28314  ftc1anclem5  28317  ftc1anclem6  28318  ftc1anclem8  28320  cntotbnd  28541  isosctrlem1ALT  31412
  Copyright terms: Public domain W3C validator