MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recl Unicode version

Theorem recl 11870
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 11866 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
2 cjth 11863 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) )  e.  RR ) )
32simpld 446 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR )
43rehalfcld 10170 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
51, 4eqeltrd 2478 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   *ccj 11856   Recre 11857
This theorem is referenced by:  imcl  11871  ref  11872  crre  11874  remim  11877  reim0b  11879  rereb  11880  mulre  11881  cjreb  11883  recj  11884  reneg  11885  readd  11886  resub  11887  remullem  11888  remul2  11890  rediv  11891  imcj  11892  imneg  11893  imadd  11894  immul2  11897  cjadd  11901  ipcnval  11903  cjmulval  11905  cjmulge0  11906  cjneg  11907  imval2  11911  cnrecnv  11925  sqeqd  11926  recli  11927  recld  11954  cnpart  12000  absrele  12068  releabs  12080  efeul  12718  absef  12753  absefib  12754  efieq1re  12755  cnsubrg  16714  mbfconst  19480  itgconst  19663  tanregt0  20394  argregt0  20458  tanarg  20467  logf1o2  20494  abscxp  20536  isosctrlem1  20615  asinsin  20685  acoscos  20686  atancj  20703  atantan  20716  cxploglim2  20770  cncph  22273  zetacvg  24752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860
  Copyright terms: Public domain W3C validator