MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recj Structured version   Unicode version

Theorem recj 12937
Description: Real part of a complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
recj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )

Proof of Theorem recj
StepHypRef Expression
1 recl 12923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9634 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9563 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 12924 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9588 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9948 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 10006 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 12930 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2519 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
1413fveq2d 5876 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
154renegcld 9998 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
16 crre 12927 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( Re `  A
) )
171, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1814, 17eqtrd 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818   *ccj 12909   Recre 12910   Imcim 12911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914
This theorem is referenced by:  cjcj  12953  ipcnval  12956  recji  12988  recjd  13017
  Copyright terms: Public domain W3C validator