MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recj Structured version   Unicode version

Theorem recj 12735
Description: Real part of a complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
recj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )

Proof of Theorem recj
StepHypRef Expression
1 recl 12721 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9527 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9456 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 12722 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9527 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9840 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 9897 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 12728 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
1413fveq2d 5806 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
154renegcld 9890 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
16 crre 12725 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( Re `  A
) )
171, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
1814, 17eqtrd 2495 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   _ici 9399    + caddc 9400    x. cmul 9402    - cmin 9710   -ucneg 9711   *ccj 12707   Recre 12708   Imcim 12709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-2 10495  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712
This theorem is referenced by:  cjcj  12751  ipcnval  12754  recji  12786  recjd  12815
  Copyright terms: Public domain W3C validator